G0 , - MÉLANGES

qui précèdent suffisent pour montrer les avantages de fa méthode, et je vais passer à la démonstration des théorèmes énoncés par M. Chasles à la page 3 de son Mémoire sur la construction îles racines des équations du troisième et du quatrième degré ( Comptes rendus de V Académie des Sciences, second semestre x 855 ) .

§ IV. — Applications diverses.

40. Théorème I. — Quand quatre segments Mm, M' m', . . . , pris sur une même droite , sont en inoolution , les pôles d’un point de la droite, relatifs à ces segments, ont leur rapport anharmonique constant, quel que soit ce point.

Ce rapport constant s'appelle le rapport anharmonique des quatre segments.

Démonstration. — Soient P, p, deux poiuts de la droite par rapport auxquels on obtient respectivement les pôles ', es 1 ,..., des segments correspondants Mm,

. . A chaque pôle r. de la série tt, 7c', ... , correspond un seul point ct de la série ct, ct', . . et réciproquement. Donc, en vertu de la proposition I , ces deux séries sont houiographiques, ce qui démontre le théorème.

Si le point P est pris à l’infini , les pôles 7t, r ! , . . . , deviennent les points milieux «, , des segments. Donc,

quand des segments sont en involution sur une droite , quatre quelconques d’entre eux ont leur rapport anharmonique égal à celui de leurs points milieux.

Autrement. Soit O le point central de l’involulion, soient aussi v, v', . . . , les points milieux des segments Pra, Pet', . . . , qui divisent harmoniquement les segments donnés, à partir du point fixe P.

A et y. étant des constantes, on a les équations