CT

DE GÉOMÉTRIE PURE. ifir

(Géom. sup. , n° 197 ) et

OM .0/M-t-0./î0P = 2 Oa.Ov

ar

[Géom. sup., n° 66). D’où

(i + On.OP — ?.Oa.Oi.

Mais on a [Géom. sup. , n" 4)

donc il vient, en faisant OP = X ,

O a . On +) (0« — O /?)-+- p := o ,

' équation d’homographie entre les deux points variables et correspondants a et n. Donc, etc.. . .

Autrement. Décrivons une conique quelconque tangente à la droite donnée, et, par les deux extrémités dé chaque segment, menons deux tangentes à la conique. On obtiendra ainsi quatre sommets d’angles circonscrits situés en ligne droite (Géom. sup., n° 702) et correspondants, un à un, aux quatre segments respectivement. Les pôles et les sommets d'angles circonscrits se correspondent un à un; donc leurs rapports anharmoniques sont égaux. Or le second est constant; donc le premier l’est aussi.

11. Théorème II. — Si d'un point fixe pris sur une conique , on mène des droites aux extrémités des quatre segments Mm , M # m', . . . , les quatre cordes que ces droites interceptent dans la conique, lesquelles , comme on sait, passent par un même point, ont leur rapport enharmonique égal à celui des quatre segments.

Démonstration. — A chaque segment correspondent une seule corde et un seul point milieu ; donc ces points et ces cordes se correspondent avec une entière réciprocité. D’ailleurs les uns sont en ligne droite et les autres passent par

iG-2 mélanges

un même point ; donc il y a correspondance anharmonique. Mais il y a aussi correspondance entre les segments et leurs points milieux; donc le théorème est démontré.

Autrement. Soient O le point de concours des cordes A a , A' a', A" a", A' H a'", qui rencontrent en a , a', a", a'" la droite Pa, menée, parallèlement à la droite donnée, par le point P de la conique; P p, Pp', Pp", Pp"' les rayons menés du point P aux points milieux des segments donnés ; et v, v', v", /'les points où ces rayons rencontrent respectivement les cordes correspondantes A a, A 1 a',. . . : ces points sont évidemment les conjugués harmoniques des points a , «', a", a'", par rapport aux segments Aa,A!a\ A" a", A'" a'". Soit entin Q le pôle de la droite P a. , par rapport à la conique.

Les quatre droites Qv, Qv', Qv", Qv'" sont les polaires des points a, a", et'"; leur rapport anharmonique est donc, égal à celui de ces quatre points {Géom. sup., n° 091), et, par suite, il est égal à celui des quatre cordes OA, OA', OA", OA'". Donc les points v, v', v"; v"' sont situés sur une conique qui passe en O et en Q (Géorn. sup., n os 5-41 et suivants). Or cette conique passe aussi eu P; car, quand le point a est en P, le point v y est aussi. Donc (Gàom. sup., n° 556) les quatre rayons Ov, Ov', Ov", Ov'", c’est-à-dire les quatre cordes , ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre rayonsPv, Pv', Pv", Pv'", et, par suite, à celui des quatre points milieux a, p', p", p'", ou à celui des quatre segments. C. Q. F. D.

12. Théorème III. — Si, dans l'équation du troisième degré à deux variables

x 5 [az + b) + x [a' z -+- b') -+• [a" z -f- b") — o ,

les variables représentent des segments comptés sur une droite indéfinie Ox à partir d’une origine O, de manière

qu’une valeur de z détermine un point n , et les deux valeurs correspondantes de x deux points M, m, formant un segment Mm : i° tous les segments M m sont en in solution ,* a 0 les points n correspondent anbannoniquement à ces segments.

Démonstration. — Ce théorème est une conséquence directe de la seconde proposition générale. Les segments sont en involution parce que les deux points qui forment les extrémités de l’un quelconque d’entre eux correspondent à la fois à un même point n , et que, au contraire, à un de ces points ne correspond qu’un seul point n. Ce point n correspond avec le milieu du segment Mm, et vice versd. Donc il y a correspondance anharmonique entre la série des points n et celle des points milieux des segments , ou celle des segments eux-mêmes, en vertu du théorème I, n° 10.

13. Théorème IV — Si dans l’équation du quatrième •degré à deux variables

bz + c) ■+-x{a'z > -+- b'z + c' )-+- ( a"z 2 + b"z-\- c") = o

le déterminant des neuf coefficients est nul , ce qu'on exprime par la relation

a { b'e " — b"c) -ha’ ( b"c — bc") a" [bd — U'c)— : o ,

les racines conjuguées de l’équation sont doubles , c'està-dire que les deux valeurs de x qui correspondent à une valeur donnée de zcorrespondent aussi , toutes les deux à la fois, à une autre valeur de z •, et si ces couples de racines conjuguées représentent des segments Mm et Nn sur une même droite , ces segments jouissent des deux propriétés suivantes :

i°. Les segments Mm sont en involution ,et pareillement, les segments Nn;

2 °. Ceux-ci correspondent anharmon iquetn ent aux premiers.

Démonstration. — Les deux valeurs de x sont données par une équation du second degré, dont les coefficients sont

j et ,

az 1 -+■ bz -t- c az 1 4- £>z 4- c

Pour que les deux valeurs de x répondent à la fois à uue valeur z' de z, il faut nécessairement que ces coefficients conservent la même valeur quand on y remplacera z par z', ce qui donne lieu aux deux équations

«z 1 -I - 6z 4- r az'? bz' 4- c

et

a’i’ + ^ + t" a"z'--+b"z'+c" az ’ 4- bz + z az' 1 4- bz' 4- c

Faisons, pour abréger,

d = -» e = -» a — —, etc. :

les deux équations deviennent, respectivement,

,z[d — c)+(c'd— cd')

et

z (c" — (?) 4- (<?" d - rr/") z — l [d-.d")-t r {e — e'') ‘

Si l’on égale ces deujc valeurs de z', on arrive, après quelques réductions, à l’équation

4 -z[(e"d- ed") (d-cT)- [d d- eif) [d— d") J 4- ( e ' d — cd") ( e — e') — { e ' d — cd') {e • — e") = o ,

laquelle, devant avoir lieu quel que soit z, exige que les coefficients de z* et de z et que le terme constant soient

- DK GÉOMÉTRIE PURE. i65

séparémeut nuis. On a ainsi trois nouvelles équations de condition, dont chacune se réduit, eu développant, à la suivante : .

(B) a [b" c — b' c") -t- a' (bc" — 6" c) -+- a" ( b'c — bc') = o.

Donc, si ce déterminant est nul, les deux valeurs de x qui répondent à une valeur de z, répondront aussi toutes les deux à la fois à une autre valeur de z , et à une seule, puisque l’une ou l’autre des équations (A), qui donnent z' en fonction de z , est du premier degré.

La première de ces équations (A) peut s’écrire

n' (d — d'} -4- (z z') (c — c') -I- (cd ' — e tt) — o,

et, sous cette nouvelle forme , elle montre que les points IN et n (qui répondent à s et à z') forment deux divisions homographiques en involulion , puisqu’elle est du premier degré et, de plus, symétrique en z et z' .

14. Ainsi il est démontré que quand l’équation de condition (B) entre les coefficients de l’équation proposée a lieu, les valeurs de z se correspondent deux à deux, jouissant de la propriété, que deux valeurs correspondantes donnent, l’une et l’autre , les deux mêmes valeurs dex; et ces couples de valeurs correspondantes déterminent des segments «N en involution.

En outre, les deux valeurs de x déterminées par chaque valeur de z donnent lieu aussi à des segments m M qui forment une seconde involution. Car x et x' étant les deux valeurs de x déterminées par deux valeurs différentes z , z\ il s’ensuit que la valeur x mise dans l’équation donne les deux valeurs z , z', et de même la valeur od ; d’où l’on conclut, en vertu de ce qui vient d’être démontré, que ces’ couples de valeurs x, x' déterminent des segments mil en involution, de même que les couples de valeurs z , z' .

II reste à démontrer que deux segments correspondants mil et «N sc correspondent çinhannoniqucment.

En effet, puisque les deux valeurs x, a:' correspondent tout à la fois à la valeur z et à la valeur z ', on a

et

a' z* + b' z ■+■ c' az ’ -}-bz-\-c

ta!’ 1 -t - bz' c

Donc, en faisant j + X étant une variable que

déterminent les deux valeurs conjuguées de x , et par conséquent le segment mM, puisque ces segments sont en involution, on peut dire que les deux valeurs z et z' sont les racines d’une même équation

Or cette équation fait voir que les couples de racines donnent lieu à des segments en involulion qui correspondent anliarmoniquement aux valeurs de la variable A. Mais les couples de valeurs de x correspondent aussi anharmoniquemcnl aux valeurs de A, en vertu de la relation x -t- x' =:

Donc, etc.

Ainsi les différentes parties du théorème se trouvent démontrées.

15. Je vais actuellement donner quelques applications des deux propositions qui font l’objet de ce chapitre, à la théorie des courbes du 3 e et 4 e ordre. On en déduit, en premier lieu, une solution très-simple de la question proposée sous le n° 306, dans les Nouvelles Annales de Mathématiques , et que j’ai déjà traitée par une autre méthode, dans la livraison d’août de ce recueil.

§ V. — Applications aux courbes du troisième et du quatrième j ordre.

La question est celle-ci :

Par un point S, pris sur l'un des tôles dé un quadrilatère, on mène des rayons à chacun des points a', a", a'",. ...

marquis sur une droite f ixe, et on décrit la conique tangente à chaque rayon et aux quatre côtés iki quadrilatère . Puis, par chacun des points b, b', b", .. . appartenant, sur la même droite, à une série /tomographique à la première } on mène deux tangentes à la conique correspondante. Ces tangentes, que fai nommées layons tangentiels, coupent les rayons pivotants Sa, Sa',... en des points situés sur une courbe du troisième degré.

Je vais démontrer qu’une droite quelconque L rencontre la courbe en trois points.

En eflét, les rayons pivotants marquent sur cette droite une série de points M, N ., ...5 les rayons tangentiels y marquent une série de segments mm', nn',...\ ceux ci correspondent, respectivement, aux points M, N,. . ., et, réciproquement, chacun des points M correspond, à la lois, aux deux extrémités 1 / 1 , m' du segment conjugué. Donc les segments sont en involulion et ils correspondent anliarmoniquement aux points M , N , . . . .

D après cela, et en se reportant au 3 e théorème énoncé par M. Chasles dans son Mémoire sur la conlrusrtion des racines des équations du 3 e et du 4” degré (voir n° 112), 011 peut regarder ces points et ces segments comme représentant, à partir d’une origine fixe prise sur la droite, les valeurs respectives et con juguées des variables d’une équation du troisième degré, telle que

Quand un rayon pivotant rencontre sur la droite L l’un des rayons tangentiels qui lui est conjugué, ce point appartient à la courbe et il est l’un des points d’intersection de cette courbe par la droite L. Mais alors les valeurs de x et de z sont égales; l’équation devient

i68 MÉLANGES

ce qui prouve que la droite L coupe la courbe en trois points.

Cette courbe es* donc du troisième degré. c. q. f. d.

Quant à la détermina lion de ces trois points, elle s’obtient géométriquement par les constructions remarquables que M. Cliasles fait connaître dans le Mémoire récent dont j’ai parlé ci-dessus. , ■

16. Je supposerai encore qu’on se propose de démontrer le théorème suivait t :

Théorème. — Étant donnés sur un même plan : i° deux divisions homographiques a, b, c,. . . ;a', b', c', . • ■ > sur une droite L ; 2° une conique tangente à celte droite et un point S extérieur à la droite. On joint Sa, Sb,. . . , et, par les points homologues a', b',.. . , on mène à la conique les tangentes a' t, b't',. . . qui coupent les rayons cotres- ■ pondants , chacune en un point. Le lieu de ce point variable est une courbe du troisième degré, qui passe, deux J'ois par le point S.

Démonstration. — Je vais prouver qu’une transversale quelconque L' rencontre la courbe en trois points. Les rayons Sa,. . . , et les tangentes a' t,. . . coupent L' en des points a, /3, y,. .. 5 «' p', y',.. à chaque point a, il ne cor- ' respond qu’un seul point «'5 mais la réciproque n’est pas ' . vraie, car le point a' est l’intersection de deux tangentes ■ ■

distinctes a' a', a' p' , auxquelles correspondent sur L deux points a et p de la première division, et par conséquent aussi deux points ncU sur L'. Ainsi , aux deux points et et rc considérés simultanément il ne correspond qu’un seul point a! , et à ce point a' corrcpondent à la lois les ‘ deux points et, T., c’est-à-dire le segment ait. On a donc sur L' une série de segments en involulion correspondants anharmoniquement à une série de points. La relation qui , ' lie ces deux séries peut s’exprimer par une équation du . • troisième degré à deux variables

Digitiz'êdby Goog

dans laquelle les variables représenteront des segments comptés sur la droite indéfinie L' à partir d’une origine fixe O, comme ci-dessus dans le troisième théorème du Mémoire de M. Cliasles. Si, dans cette équation, 011 fait x — z , ou exprimera que les rayons Sa et les tangentes correspondantes a' t se coupent sur L'. Les racines de l’équation du troisième degré en z répondront donc aux points de rencontre de L' avec la courbe. On voit que ces points sont au nombre de trois, et la méthode de M. Chasles permettra de les construire.

Ainsi la courbe est du troisième degré.

Cet exemple fait voir le danger qu’il y aurait à ne pas bien s’assurer de la nature de la réciprocité qui existe entre les deux séries de points. Car ici il semblerait au premier abord que, puisqu’à un rayon Sa il ne correspond qu’une seule tangente, et qu’à une tangente a' 1 il 11e correspond qu’un seul rayon Sa , il semblerait , dis-je, que les points a , |3 , y,.. . , a', ( 3 ', "/)•■• devraient se correspondre aussi , un à un respectivement. Une étude plus attentive de la question fait voir que la réciprocité n’a pas lieu de celle manière; et l’on en est d’ailleurs immédiatement averti dans le cas actuel. Car, si cette correspondance simple existait, les deux divisions a , | 3 , y,... ,a', ( 3 ; , y ', . . . seraient liomographiques ; donc aussi les deux séries a.', / 3 ', /,..., a', b', c'. .., ce qui est impossible puisque la droite U n’est pas une deuxième tangente fixe à la conique sur laquelle roule la tangente mobile qui marque les points de division.

Cette courbe du troisième degré passe parles points doubles des deux divisions liomographiques a, &, c,...,a', c',..., et par le point qui, dans la première, est l'homologue du point de contact de la conique et de L, regardé comme faisant partie de la seconde. La courbe louche la conique et passe deux fois par le point S, où elle se noue pour jeter à

droite et à gauche deux branches infinies ayant une asymptote commune tangente à la conique.

17. Les exemples qui précèdent suffisent pour donner une idée précise de la manière dont on doit appliquer les deux propositions qui ont été démontrées au début de ce • chapitre. Mais je veux en donner d’autres plus généraux, qui montreront mieux encore toute l'étendue des ressources qu’elles présentent. Ainsi l’on verra avec quelle facilité elles ' conduisent à divers modes de génération des courbes du 3* et du 4 e degré, et même comment elles sont susceptibles de s’étendre à celles d’un ordre supérieur.

18. Je supposerai donc qu’on ail, sur une même droite, * une série de segments eu involution Mm, MW, . . . , et une ' série de points n, n' ,.. . , correspondant auharmoniqite- * ment à ces segments, comme par exemple leurs points mi- lieux, ou bien leurs pôles pris relativement à un |>ointfixe ; quelconque de la droite sur laquelle ils sont décrits.

Si, d’un point fixe P pris dans le même plan, on mène des rayons aux extrémités M , ni de chaque segment, et que d’un autre point fixe P' on mène des rayons P/i , . . . , aux . points homologues, ces derniers rayons rencontreront les premiers, respectivement, en des points situés sur une . courbe du troisième ordre.

En effet, si l’on mène une transversale quelconque L, elle coupera les rayons PM , pm , . . . , en des points formant une série de segments en involution, et les segments P// , . . . , en des points formant une division homographique à celle des segments. Si l’on prend pour variables x et z les distances respectives de ces points à une origine fixe O de cette transversale, on aura entre les variables une équation de la forme

x’ (az + b ) -+- x [a' z b')- 1- [a" z b”) = o ( n" !2).

Pour les points où L coupe la courbe, on a x — z, et l’équation devient du 3 1- degré en x seul. Ses racines feront

connaître les points d’intersection qui sont par conséquent au nombre de trois, comme il fallait le démontrer.

Remarque. — Celte courbe passe une fois par le point P, deux fois par le point P, et une fois par chacun des points doubles de l’involution décrite sur la droite donnée. Dans le cas général, elle se compose de trois branches infinies, dont une seule traverse la droite donnée, et dont les deux autres ont une asymptote commune parallèle à cette droite. Les deux autres asymptotes sont aussi, l’une et l’autre, communes à deux branches distinctes, et elles coupent la courbe en deux points qui sont, comme on sait, en ligne droite avec le point où la première asymptote la coupe ellemême.

Dans le cas particulier où la droite Pl v coupe la droite donnée en un point situé entre les deux points doubles de l’involulion , deux des branches deviennent imaginaires, ainsi que leur point de croisement P, et il ne reste qu'une seule branche ayant une asymptote parallèle à la droite donnée.

19. Les couples de droites (PM , pm) , (PM', pm !) , . . . , peuvent être remplacés par des coniques, qui auront, comme on sait, quatre points communs ( réels ou imaginaires). L’intersection de ces coniques par les rayons homologues du faisceau Pn , P«', . . . , qui leur est liomographique, engendrera une courbe du 3 e degré passant par le sommet P' et par les quatre points communs aux coniques.

C’est l’un des deux modes de description employés pap M. Chasles pour construire la courbe du 3' degré passant par neuf points.

20. Prenons une série de coniques inscrites au meme quadrilatère. Leurs centres sont en ligne droite, et forment une série homographique à celle des coniques. Par un point quelconque P, menons deux tangentes à chaque conique. Nous aurons, autour de ce point, une série d’angles en in-

i 7 2 ' MÉLANGES

volution, correspondant anharmoniquetnenl aux centres des coniques, et par conséquent aux rayons qui joignent ces centres à un point quelconque P du plan de la figure. Ces rayons couperont encore les côtés des angles correspondants sur une courbe du 3 e degré passant par le point P 7 .

Au lieu des centres des coniques, on peut prendre, pour la série de points, celle des pôles d’une droite quelconque pris relativement à elles, etc., etc.

21 . Qu’on prenne sur une même droite deux séries de segments en involution, se correspondant anharnioniquenicnt; puis , qu’ on j oi gne les extrémi tés des premi ers Mm,..., à un point fixe P, et celles des seconds Nn , . . . , à un autre point P 7 . Les rayons (F N, P'm), . . . , couperont les rayons conjugués (PM, P/« ),..., en des points situés sur une- courbe du quatrième ordre.

Car ces deux faisceaux, étant coupés sur une transversale L, y marqueront deux séries de points en involution qu’on pourra rapporter à une origine fixe, et qui auront entre eux une relation de la forme

x'{az‘ -4- bz + cj + x[a'z‘- \-b'z -J-c') + b"z -t - c ) = o

dans laquelle le déterminant des neuf coefficients sera nul (Théorème IV, n° 13).

Par conséquent, les points pour lesquels x= z, c’est-àdire les points où L coupe la courbe, sont au nombre de quatre, puisqu’ils sont donnés par les racines d une équation du 4 e degré.

Remarque. — On peut se donner de bien des manières les deux séries de segments qui se correspondent anharmoniquement. Par exemple, on pourra former une série de points homographiques à celle des points milieux de la série de segments, etr , regarder ces nouveaux points comme les points milieux de la deuxième série de segments, dont deux pourront être pris arbitrairement (Gcom. snp.. n" 242).

DF. GÉOMÉTRIE PURE/ i 7 3

On pourra encore couper deux coniques quelconques par un faisceau de transversales issues d’un point fixe de leur plan, et projeter ensuite les cordes interceptées dans chacune d’elles sur une droite quelconque, en prenant pour centres de projection respectifs un point de chacune de ccs coniques. Les segments obtenus formeront deux séries liomographiques de segments en involution, etc., etc.

22. La série d’angles (PM, p/rt),... peut être remplacée par une série de coniques ayant quatre points communs, et pareillement la série ( PN, pn ),..., pourvu que les coniques des deux faisceaux se correspondent aussi anharmoniquement.

On retrouve ainsi le mode de génération des courbes du quatrième ordre donné par M. Chasles.

On peut prendre également deux séries de coniques inscrites dans deux quadrilatères différents, et qu’on fera se correspondre anharmoniquement. Si, par deux points fixes P, P', on mène des couples de tangentes à ecs coniques, les tangentes de la première série couperont celles de la seconde série ou les points situés sur une courbe du quatrième ordre, etc., etc.

Le second théorème général, concernant la génération des courbes du quatrième ordre, qui est donné par M. Chasles ( Comptes rendus , i853, i e semestre, page 3^5), est encore une conséquence fort simple des principes qui viennent d’être exposés. Il est ainsi conçu :

Étant donnés deux systèmes, de quatre points a, b, c, d et a', b', c', d', le lieu d’un point tel, que le rapport anliarmonique r des droites menées de ce point aux quatre a, b, c, d, et le rapport anharmonique r' des droites menées du même point aux quatre a', b', d, (Y, aient entre eux la relation constante

a . rr' -+- |i . r -t- y . /•' + S~o,

est une courbe du quatrième ordre qui passe par les huit

points fixes.

En effet, chaque valeur de r détermine une conique S passant par la base (a, b, c, d) ; de même chaque valeur de r détermine une conique S' reposant sur la base (a', b', c', d'). Mais, en vertu de l’équation, à une valeur de r il ne correspond qu’une valeur de d, et réciproquement. Donc le faisceau Scorrespond anharmoniquement au faisceau S', et, par conséquent, ces coniques se coupent sur une courbe du quatrième ordre.

23. Les considérations qui précèdent peuvent être généralisées ainsi qu’il suit :

Soit un faisceau de courbes du m leme ordre, liées anharmoniquement à des courbes du n 1 ™" ordre formant un second faisceau, de telle sorte qu’à une courbe du premier faisceau iln’cn corresponde qu’une seule du second faisceau, et réciproquement. Les courbes homologues se couperont en ran points, appartenant à une courbe de r ordre m + n.

Eu effet, une transversale quelconque coupera le premier faisceau en une série de points groupés m par m, et le second faisceau en une série de points groupés n par n, correspondants aux premiers , groupe à groupe. Si l’on rapporte tous ces points à une origine fixe, on pourra évidemment les lier entre eux par une équation à deux variables x et z du degré [m + n), qui deviendra du degré [m + n) en x seul pour tous les points communs aux deux séries de groupes, c’est-à-dire pour les points d’intersection de la droite et de la courbe, laquelle sera par conséquent du degré m + n.

Dans chaque cas, la difficulté consistera à lier anharmoniquement les deux faisceaux, ce qui ne pourra se faire qu’en s’appuyant sur quelque propriété générale commune à toutes les courbes (en nombre infini) d’un même ordre

Dtgitlzed

m (jiii ont

— 1 points communs, c’est-à-dire un

point de moins qu’il n’en faut pour déterminer une courbe de cet ordre. Et de même pour les courbes de l’ordre n.

C’est ainsi que, dans la génération des courbes du troisième et du quatrième ordre, 011 emploie des faisceaux de coniques, qu’on lie anharmoniquement en se fondant sur la propriété qu’ont quatre coniques, passant par quatre mêmes points, d’avoir le même rapport ànbarmonique que les polaires d’un point quelconque de leur plan prises relativement à elles.

Mais on voit, en même temps, que cette connaissance de la génération des courbes d’un, ordre supérieur ne peut être que l’œuvre lente du temps ; qu’on ne pourra s’y élever que de proche en proche, et en étudiant toutes les propriétés de celles qui les précèdent dans la hiérarchie, avec cette patience et cette siireté d'investigation que la géométrie sait, mieux peut-être que toute autre science, apporter dans ses recherches, parce que ne pouvant guère ni sauter ni courir, s’il m’est permis de parler ainsi, elle ne laisse inaperçu aucun des détails de la route qu’elle parcourt.

§ VI. — Démonstration de quelques théorèmes énoncés par M. Chasles, dans le Mémoire cité plus haut.

24 . Le paragraphe V du Mémoire de M. Chasles estainsi conçu : -

« Qu’on ait un faisceau de courbes du troisième ordre » passant toutes par neuf mêmes points, et qu’en un de ces » points a on mèné les tangente^ aux courbes , que nous » appellerons M, M', M", etc. ; la corde qui joint deux » quelconques des neuf points rencontre chacune des » courbes en un troisième point, de sorte qu’on a sur » cette droite une série de points r>, n', n", etc. Ces

rj6 ,, MÉLANGES

î* points correspondent anharmoniquement aux tangen-

» tes M, M', M ff , etc. . .- . . . .

» D’où l’on peut conclure que si des points n, //,etc., on » abaisse sur les tangentes M, M', etc. , respectivement des » perpendiculaires , ou, plus généralement , des obliques » sous un même angle et dans un même sens de rotation ,

» toutes ces droites envelopperont une parabole, et, par >t conséquent, leurs pieds sur les tangentes seront sur une » courbe du troisième ordre, ayant un point double en a,

» point de contact de toutes les tangentes. »

Il s’agit de démontrer ces deux conclusions.

Soient A, A', A", . . . , les pieds des obliques ; les angles a An, a À' n ', . . ., soi^t tous égaux entre eux, par hypothèse, et décrits dans le même sens de rotation. Donc ( Géoni. sup., page 461 > n° 651 ) leurs côtés marquent sur la droite, à l’intini , deux divisions homographiques. L’une de ces divisions est liomographique au faisceau des côtés A a , A! a , . . . , parce que tous ces Côtés sont issus du même point a ; donc elle est homogra- • pbique à la division formée par les points n, n', .... Donc enfin celle-ci est homographique à la division for-* méc, à l’infini, par les seconds côtés An, A'nt, ... , des angles A, A', Donc ces côtés, qui joignent, deux à ’ deux, les points homologues de ces deux divisions, enveloppent une conique; et cette conique est une parabole, parce que l’une des deux droites fixes auxquelles elle est tangente, est située à l’infini.

Il faut prouver actuellement que les points A, A 1 ,..., sont sur une courbe du troisième ordre.

E11 effet, la circonférence de cercle, menée par les trois points a, A, n rencontre la droite L , sur laquelle sont les points en un point F, tel que l’angle a F m est

le supplément de l’angle constant a An-, donc toutes les autres circonférences menées , respectivement, par les au-

très points A', A", n" ; . . . , et par le point a , passent

par ce point F. Il résulte de là que les points A, A',. . . se trouvent sur un faisceau de cercles passant par les deux points fixes a et F ; ces cercles correspondent anharmoniquement aux points n,n \. . . et par conséquent aux droites a A, a A'.. . . . Donc les points A, A',. . . sont sur une courbe du troisième ordre, d'après lé théorème général de M. Chasles sur la description de ces courbes.

On sait que la courbe du troisième ordre, ainsi décrite, passe par les quatre points d’intersection des coniques du premier faisceau et par le sommet du faisceau de droites.

Ici les coniques sont des cercles ; deux de leurs quatre points d’intersection sont imaginaires et situés à l’infini sur un cercle ( Géorn . sup., n° 651). Donc, en premier lieu, la courbe du troisième ordre a deux points imaginaires, à l’infini , sur un cercle , c'est-à-dire qu’elle a deux asymptotes imaginaires , coïncidentes avec les asymptotes d’un cercle. Le point n est un pointdoublede la courbe-. Les tangentes en ce point sont les rayons doubles des deux faisceaux homograpliiques formés, l’un par les droites a A, ■ aA ',. . ., l’autre par les tangentes en a aux cercles aAn, A'an ,. . . , parce que la droite a A„, quand elle a l’une de - . ces deux positions, coupe le cercle qui lui correspond, et qui * a cette même droite pour tangente, en un point qui appartient à la courbe du troisième ordre, et qui est infiniment voisin du point a dans la direction de cette tangente aA„.

On peut concevoir d’une autre manière la génération de la courbe du troisième ordre en question.

En effet, menons par le point a une tangente à la parabole; les obliques «A, n! A',..., y marqueront une série de points p,p',. •• , homographique à la division /r, ti' . Faisons passer une série de cercles par les points o, A, p ; a, A', p' ; . . . , respectivement. Tous ces -cercles auront pour tangente commune en a la droite «T,

qui fait avec up l’angle paT égal à l’angle constant sous lequel on abaisse les obliques. Chaque point p détermine un cercle , et réciproquement chaque cercle détermine un seul point p ; doue la série de cercles est homographique à la série p,p ',. . et par conséquent à la série de droites «A, o A', .... Donc ces deux faisceaux se coupent sur une courbe du troisième ordre , tangente en a à la droite 1 , que tous les cercles touchent en ce point. La droite a 1 est donc une des deux tangentes à la courbe au point double. Pour trouver la seconde, il suffit de considérer 1 autre tangente à la parabole issue du point a , et la série, de points < 7 , . . . , qu’y marquent les obliques np A, nlp'A',

ri'Y A ", Si l’on fait passer une nouvelle série de

cercles par les points a, A,£; a. A', ÿ 4 ; . . . , rcspeclivement, tous ces cercles seront tangents en a à une nouvelle droite «T, qui fait avec aq l’angle qaV égal à l'angle de rotation des obliques, et ils formeront un nouveau faisceau

homographique au faisceau de droites a A, A'a , La

comte du troisième ordre résulte donc aussi de l'intersection de ces deux faisceaux, et par conséquent elle a pour . tangente, en son point a, la droite al'. Ainsi elle admet deux tangentes distinctes aT, aV au point a ; donc ce point est double.

On pourrait enfin démontrer que la courbe, lieu géométrique des points A, AV .., est du troisième ordre, en prouvant, au moyeu du raisonnement employé aux n 05 ld et 1(> du présent chapitre, qu’une transversale quelconque no la rencontre qu'eu trois points. Mais il me semble inutile d’entrer à ce snjel dans de nouveaux détails.