Le § XI du Mémoire de M. Chasles exprime le

théorème suivant

« Qu’on ait un faisceau de courbes du troisième ordre,

» passant par les neuf mêmes points d intersection a, />,

>, c, etc. La corde le qui joint deux de ces points rencontre

» les courbes en des points n, n', etc., et une transversale » quelconque, menée par un des deux points b, e, ou par » un autre «, les rencontre en des couples de points ni, M ; » m\ JVI', etc.; ces couples de points sont en involution » et correspondent anhannoniquenient aux points n, » n', etc. Car à un point m de la transversale ne corres- » poud qu’un point n sur la corde, mais à un point n de » cette droite correspondent deux points m, M sur la trans- » versale.

n Remarque — On peut conclure de là que si l’on joint. » chaque point n aux deux points correspondants m, M » par deux droites tint, n M, toutes ces droites enveloppent » une courbe de troisième classe quand la transversale est » menée par un des deux points b, c, et simplement une » conique quand la transversale est menée par un autre •» pointa. » <

Il s’agit de prouver ces deux dernières propositions.

Supposons, en premier lieu, que la transversale soit menée par l’un des deux points b ou c, par le point b par exemple. Il suffit de prouver que, d’uu point quelconque P on ne peut mener que trois tangentes à la courbe. Projetons tous les. segments Mm, M'm', etc., en Qq, Q'q', etc., sur la droite bc, par des rayons issus du point P. On aura sur cette droite : i° une série de points n, n', etc. ; i° une série de segments en involution Qq, Q'q 1 , etc.; et ces segments correspondront anharmoniquement aux points n, n', etc., ainsi que cela avait lieu pour les segments Mm, M'm', etc. Il est clair que la droite variable P« sera une tangente de la courbe, quand, le point «^coïncidera avec l’une ou l’autre des extrémités Q, q du segment qui lui correspond. Or nous avons vu plus haut, n° 12, que cette coïncidence a lieu pour trois positions du point n seulement. Donc le théorème est démontré.

Mais ,sila transversale L est menée par l’un quelconque a

des six attires points d'intersection des courbes du troisième

degré, la question change de face. Dans le cas précédent, le point n ne pouvait jamais se trouver au point de rencontre b de la transversale et de la droite bc, parce que, d’après l’hypothèse, le point b n’est pas un point double. Ici, au contraire, le point n peut être placé (dans une de ses positions particulières) au point de concours t de latransversale aL et de la droite bc. Quand il s’y trouve, l’un des points M ou m du segment correspondant s’v trouve évidemment aussi. Donc, en faisant comme tout à l’heure la projection des segments sur la droite bc , on voit que, quel que soit le point projetant P, l’équation du troisième degré, d'où dépend la détermination des points de coïncidence cherchés , a une racine constante , ou nulle si l’on place l’origine des variables au point i lui-mème. Cette équation se réduit donc d’elle-même au second degré.

On peut dire encore que toute droite menée par le point i est une tangente à la courbe, qui dès lors devient, abstraction faite de ce point, une courbe de seconde classe, c’cstà-^dire. une conique» • ' • „ - ■