Le § XII du Mémoire est ainsi conçu

« Autour d’un point P d’une courbe de troisième ordre à a 'point double, on fait tourner une transversale N qui » rencontre la courbe en deux points u, p t , et du point » double O on mène les droites Op, Op, que nous appc- » Ions les droites m et M. On reconnaît immédiatement

» que les couples de droites M, m forment une involution » et correspondent anharmoniquemen t aux droites N.

» Remarque. — Les deux tangentes à la courbe du » troisième ordre en son point double forment un couple » de droites appartenant à l’involution. Et reciproque- » ment, si l’on mène par le point double des couples de » droites en involution tels, que les deux tangentes à la

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» courbe eu ce point forment un des couples, les cordes » interceptées dans la courbe entre ces droites passeront » toutes parmi intime point de la courbe.

» Si les deux tangentes ne forment pas un couple faisant » pai'tie de l’involuLion, les cordes sous-tendues ne passent » plus par un même point, mais elles enveloppent une » conitpie. »

Le réciproquement de la remarque se démontre comme il suit :

Si les cordes interceptées dans la courbe ne passaient pas par un même point, ou pourrait, par le troisième point où 1 uue quelconque d’entre elles coupe la courbe, mener une série de cordes qui, en achevant la construction indiquée dans le théorème; donnerait lieu à un faisceau <fe droites * en involution dont ferait partie le couple des tangentes à la courbe au point double. Or ce faisceau aurait en commun, avec celui qui est donné, deux couples de droites, savoir : ces deux tangentes et les deux droites Pp, Pp, déterminées par la corde npp, que nous avons choisie. Donc les deux faisceaux se confondent, ce qui démontre la proposition.

D après cela, si les deux tangentes ne forment pas un couple faisant partie de l’involution , les cordes ne passent plus par un même point. Pour démontrer qu elles enveloppent une conique, il faut prouver que deux quelconques d’entre elles sont divisées homographiquement par les autres.

Or chacune de ces deux cordes n est coupée par une autre corde qu’en un seul point, et ces deux points se correspondent anharmoniquement, si réciproquement par ce point on ne peut mener qu’une seule autre corde cl non pas deux. Kn d antres termes, il faut prouver que trois cordes ne peuvent passer par un même point.

Lu eÜêt, si trois cordes passaient par un même poinlP, on pourrait décrire une courbe du troisième ordre passant par

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leurs' extrémités et ayant le même point double que la proposée , et cette courbe passerait aussi parle point P, en vertu du théorème XII. D'ailleurs elle se confondrait avec la courbe donnée, comme ayant en commun avec elle six . points et un point double. Donc les tangentes au point double feraient partie de l’involulion, ce qui est contraire à l’hypothèse. Donc , etc. *

• -SECTION II

CONSTRUCTIONS DIVERSES DE LA COURBE DU TROISIÈME ORDRE. — QUESTIONS CONCERNANT LES - INTERSEC- TION§ DE CES COURBES.

§ VII. — Construction de. la courbe du troisième ordre dans divers cas particuliers.

27. La construction générale de la courbe du troisième ordre s’applique à différents cas particuliers que M. Chasles a indiqués rapidement dans le cours d’un Mémoire inséré aux Comptes rendus de l’année i853 (premier semestre,

page 947)-

Ce sont précisément ces cas particuliers que je me propose d’examiner et de résoudre ici. On verra dans ce nou- • veau travail des applications variées des théories de lfi Géométrie supérieure, dont les ressources sont inépuisables. .

Pour abréger le discours , j’appellerai base d’un faisceau de coniques les quatre points communs à toutes ces coniques; ' ; ainsi , B étant la base, ( B , e ) signifiera la conique qui passe par les quatre points de la base et par un cinquième pointe.

La lettre P représentera toujours, comme dans le Mémoire, le sommet du faisceau des droites génératrices.