Premier cas. — Deux des neuf points donnés sont

imaginaires. ~

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ün donne , par exemple, une droite L sur laquelle se trouvent les deux points imaginaires, leur point milieu m et le rectangle me.rntf de leurs distances à un point fixe m de la droite L ; ces données pouvant d’ailleurs être explicites, oubien impliquées dans une équation du second degré à une inconnue (Géo/n. sup., n os 8G, 87).

On comprendra ces deux points dans la 6/weB du faisceau, c’est-à-dire qu’ou fera passer toutes les coniques génératrices par ces deux points et par Jeux autres points réels a, b. La. construction s’achèvera ensuite comme à l’ordinaire.

La détermi nation de chacune de ces coniques exige quelques détails.

Soit c un cinquième, point par lequel doit passer une des coniques. Joignons ai, qui coupe L en J\l, çt, par le pointe, menons, parallèlement à L, la droite cM' qui rencontrcai en M' et la conicpie <‘110-1110016 en un point inconnue'. Le théorème de ISewton (Gcom. sup., n° 480) donne

Mf.Mf M'c.MV

M</. Mi M'a. M' h

Tout estconnu dans cette équation, à l’exception de M'c'. Car le produit Me . M y est égal à

t M /// -|- me). (Mm 4- ///?) = Mm’ -t- M/n {me + ///?) + ni i.rti-?

— M m -4- 2 M ni .ni u -f- ni t . m <f ,

relation où touL est donné , par hypothèse.

On connaîtra donc le pointe'. On trouvera, sans plus de difficulté, le point a 1 de la courbe, qui se trouve sur la droite aa' parallèle à iç, ce qui fait cinq points réels, au moyen desquels on pourra effectuer sur la conique toutes les constructions que la question réclame.

Remarque. — Si, pour représenter les points imaginaires, on donnait urtc conique T et uni- droite L, on ramènerait les données aux précédentes , en observant que le

■Mm

,“èig ts^tirv) 0bcÿc

j «4 mélanges ' ' .

théorème de jNewtou fait immédiatement connaître le rectangle mz.rny, et que le point milieu w est précisément le point où L est coupée par le diamètre de T qui est conjugué à la direction de L.

Ainsi la question est complètement résolue.

29. Deuxième cas. — Quatre des points donnés sont imaginaires, par couples. > • •

On prendra ces quatre points pour base du faisceau des * coniques génératrices, et la construction suivra comme à' l’ordinaire. - ; * j ~v --V • "

11 reste seulement à faire voir comment on peut faire passer une conique par quatre points imaginaires et par un ’ , cinquième point réel. - v . ■ ' .

Je' supposerai d’abord que lé système des quatre points imaginaires soit donné au moyen de deux coniques tracées (où simplement déterminées par cinq conditions) , et qui üe sc coupent en aucuns points réels. " * •

Par le cinquième point a menons une transversale , coupant les deux couiques en des points h,h'\ i , i'f et la conique, qu’on veut déterminer, en un point inconnu a 1 . Les trois segments hh /, ii 1 , aa', sont en involution ( Géom . sup., n° 743). Donc on obtiendra facilement le point a' (Géom. sup., n°213).

On obtiendra de la sorte autant de points qu’on le voudra. L’une des coniques données peut être remplacée par l’ensemble de deux droites , qui seront par conséquent les axes de symptose de la première et de celle qu’on a à construire. La solution est encore la même. Car si jj' est le segment intercepté par ces droites sur la transversale, il y a encore involution entre les trois segments hh',jj', aa'(Géom. sup., n° 714, Corollaire) . ■ •’ t •

Enfin on peut ne donner que deux droites L,L' sur lesquelles se trouvent, deux par deux,' les points imaginaires », y 5 y,0. Mais alors il faut connaître de plus leurs points

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milieux u),<p, et les rectangles de leurs distances à deux points fixes pris sur I. et sur L', ou , ce qui en est une conséquence, au point de rencontre m de ces deux droites. Ainsi l’on connaît me. m<f et my.mQ.

Par le cinquième point a menons, parallèlement à L, une droite ao'n, qui coupe la conique cherchée en un* point inconnu a' et la droite L' en n. On aura, comme ci-dessus ,

nn

, na ni t . ni y ny' .nO my.mO

équation ou tout est connu, excepte «

Ayant obtenu ou mènera parce point une parallèle a! n' à L', et l’on obtiendra pareillement un autre point b \ et ainsi de suite, de proche en proche.

Remarque. — Deux des points imaginaires peuvent être donnés à l’infini sur une conique ou sur un cercle. Dans la première hypothèse, toutes les coniquës génératrices, passant d’ailleurs par les deux points imaginaires donnés sur la droite L, seront homothétiques à la conique donnée ( Gèom . sup., n° 472), et, dans la seconde, elles seront toutes des cercles ayant pour axe radical avec le cercle donné la droite L elle-même (Géorn. sup., n° 719).

30. Troisième ca9. — Six des points donnés sont imaginaires , par couples.

On prendra pour base quatre de ces points (s , ç), (y, 6 ) , comme dans le deuxième cas , et on construira la courbe du troisième ordre, non plus par la première construction où l’on cherche un dixième point générateur P, mais par la seconde indiquée à la page 276 des Comptes rendus de 1 853 (deuxième semestre). En effet, rien n’empêchera de supposer que deux des trois points a', b', c', par lesquels passent toutes les coniques du second faisceau, sont imaginaires ; et cela ne présentera aucune difficulté, en vertu de . ce qui précède.

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