Quatrième cas. — On demande que la courbe soit

tangente à une ou plusieurs droites en des points donnés.

Ce cas est traité par M. Chasles lui-nième à la page p5?. ' " . •' des Comptes rendus.

Soient, par exemple, A, B, C, D, quatre tangentes don- r nées, cl a, b, c, d, les quatre points de contact, pris sur elles, respectivement, i est le cinquième point donné pour . compléter les conditions du problème.

( a , b , c, d) sera la base du faisceau. Quatre des riuq coniques à déterminer pour trouver le soirtincl générateur P, le seront par la condition qu elles doivent toucher les droites A, B, C, D, respectivement. La cinquième est i (a, b,c, d, i). ' .

Pas de difficulté par conséquent. .

32. Cinquième cas. — On donne sept points a , b, c, d,' c, f, g, et l'on demande que la courbe ait un contact du T premier ordre avec une conique donnée au point h.

On prend pour base (a , b, c,d), et l’on mène la tangente en h à la conique donnée. Le problème est ramené à celui du quatrième cas.

33. Sixième cas. — On donne six points a, b, c, d, c, f et trois points infiniment voisins (g, h, i) sur une' conique S •, en d autres termes , on demande que la courbe ait un contact du deuxième ordre avec cette conique.

On prendra pour base [a, i, [g, /i)j, c’est-à-dire que loutcslcs coniques génératrices seront tangentes, au point#, à la tangente gli L menée en g à la conique S. On aura ainsi immédiatement les quatre coniques V. .

(B,e)(B,rf)(B,*)(B,/). . ‘'Z'-’

Il reste à construire la cbniqüe (B, i). * . .

Sel (B,/) ayant trois points communs (#, A,i) en#,. * n’en ont plus qu’un autre inconnu x. Leurs axes de symptose sont #L et gx. Soit m le point où # L coupe ai ; soitjy

" ;j t ; a , r ,'pigjtizeÿby Goôgle

le point inconnu où gx coupe ab ; soient enfin £, <p les points de rencontre (réels ou imaginaires) de ab avec S. Les trois segments ab , e<f , my , sont en involulion. Il sera donc facile de construire le point y (Géom. sup., n° 213). y fait connaître x et par suite détermine (B, i).

34. Septième cas. — On donne cinq points a , b, c , d , e, et quatre points infiniment voisins (f, g, li, i) sur une conique S; en d’autres termes, on demande que la courbe ait avec S un contact du troisième ordre.

On prendra \ f, g, h , /) pour base B , ce qui fournira les cinq coniques génératrices ( B, a) (B, b ), (B,c) ( B, d) , (B,e). Voici comment on détermine chacune d'elles, (B, a) par exemple,

S et (B, a) ont leurs deux axes de symptose confondus en un seul, suivant la tangente f L menée à S au point/ - .

Par le point a menons une transversale quelconque qui coupe f L en m, S en e, ip, et (B, a ) en un point inconnu a', qu’il s’agit de déterminer.

m est le point double d’une involution dont aal et £<p sont deux segments. On aura donc facilement a'. Par exemple,

l’équation O m = Oc.Ofp fera connaître le pointcentral O. Après quoi, l'équation O a’ =5-^, fera connaître a.

35. Huitième cas. — On donne quatre points a, b,c, d et cinq points infiniment voisins (e, f, g, h, i) sur une conique S 5 en d’autres termes, on demande que la courbe ait, en e, avec S un contact du quatrième ordre.

On prendra (e , f, g , h) pour base \ voir\e septième cas). Les quatre coniques (B,a),(B,Z>),(B,e),(B,</)se construiront comme précédemment. La cinquième conique sera S elle-même évidemment.

Remarque. — Dans ces deux derniers cas, le rapport anharmonique des quatre coniques (B, «), B, l>), (B,c),.-

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(B, d) ne pourra s’obtenir qu’en prenant, par rapport à elles, les polaires d’un point quelconque de leur plan , et. encore faudra-t-il avoir le soin de ne pas prendre ce point sur la tangente g L, parce que, dans ce cas, toutes les polaires se confondant en une seule et même droite , il y aurait indétermination apparente.

36. Neuvième cas. — On donne six points a, b, c, d, e, f, et trois points infiniment voisins (g, h, i) en ligne droite ; en d’autres termes , on demande que la courbe ait un point d’inflexion en g, dans une direction donnée gL.

On prendra pour base [a, [g, /<)], c’est-à-dire que

toutes les coniques génératrices, passant en « et b, seront tangentes en g à la droite gL. Les coniques (B, c) , (B, </), (B, e) , (B, y) se détermineront sans difficulté; quant à la cinquième (B , i) , elle se réduit évidemment au système des deux droites ah et ghi ou g h'.

Si-l’on se sert des tangentes aux coniques en a pour déterminer les rappotfs anharmoniques X, X' des coniques auxiliaires 2, 2', on remarquera que la tangente en a à la conique (B, i) est précisément la droite ah elle-même.

• 37. Dixième cas. — On donne trois points a, b,c; trois autres points infiniment voisins et en ligne droite (d, e,f); et trois autres points infiniment voisins et en ligne droite { g, b, i); en d’autres termes , on demande que la courbe ait deux infiexions , l 'une en d suivant d L , et l’autre en g suivant g L'.

On prendra pour base[(cf, e), (g, i) ], -c’est-à-dire que toutes les coniques génératrices seront tangentes en d et g aux droites d L et gL'. On aura ainsi les coniques (B, a) , (B, b), (B, c) ; puis ( d , e,f , g,./), c’est-à-dire le sys-, lème des. deux droites d L, gL'; et enfin (d, e, g, h, i), c’est-à-dire encore une fois les deux droites d L , gL'. »

Pour obtenir ensuite les rapports anharmoniques X, X',. on prendra les polaires d’un point quelconque par rapport

* DigUized

aux trois coniques et à l’angle (JL, ÿ I/) , ce qui donnera évidemment). = X', au moyen de quoi on construira S et £' sut les bases respectives («, b, c, d ) , (a, b, c, g). Or ceci revient, en définitive, à placer le point P sur la droite dg, de manière que les quatre droites Pa, P b , Pc, P J corres- | tondent anharmoniquement aux quatre coniques (B, a ) ,

(B, b), (B, c) (JL, gL').

Autrement. Il est aussi simple et plus général de regarder les deux points J et g comme étant les points d’intersection d’une droite donnée L avec une conique aussi donnée ; car on peut ainsi supposer que ces points soient imaginaires. Dans tous les cas, le pôle Q de la droite L, par rapport à la conique, est toujours réel et facile à déterminer, et les droites Q J, Qg sont les tangentes (réelles ou imaginaires) à la conique, en ses points J et g. Donc, si l’on décrit la courbe du troisième ordre qui touche la roni-. " que donnée awx points J et g , et qui de plus passe par les points/ 1 et h de QJ et de Q#, infiniment voisins de J et . de g respectivement, cette courbe aura, en ces points, deux inflexions (réelles ou imaginaires).

Les droi tes Q J , Qg écprésenienl la quatrième conique, comme dans la première construction.

Corollaire I. — Si le troisième point c est sur la droite dg, il suffit d’y placer le point P qui, dans le cas où c est quelconque, est lui -même sur cette ligne.

Corollaire II. — Enfin, si le point b est lui-mèmç sur cette droite et infiniment voisin du point c, on place le sommet P en ce point. On regarde les droites dgb, éhe , qui coïncident en une seule dgb , comme formant la troisième conique, et l’on prend le rayon ha pour correspondre à la conique ( B, a). On résout ainsi cette autre question : ,

Décrire une courbe du troisième ordre ayant trois in- * .

flexions , de directions données , en trois points en ligne > - ... i ! Oyi droite , et passant par un quatrième point a, , 9 **- -*

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38. Onzième cas. — On donne six points a, b, c, d, e, f et un septième point g qui doit être un point double, ordinaire, conjugué ou de rebroussement. , '

On prend pour base (a, b , c, g ) et on place le point P , eu g. Les trois coniques (B, d) , (B, e), (B,/) correspon- . <\ dent anharmoniquement aux trois rayons P d, Pe, P f. ■

Cela suffit évidemment pour déterminer le rayon corres- ‘ pondant à une quatrième conique. La courbe décrite a un ;

point double en P ou g , et les tangentes en ce point sont les rayons doubles des deux faisceaux liomograpliiques • ’

formés, l’un par les tangentes aux couiques en leur point . communPoug, et l’autre par les rayons P d, Pe, P f,..., •<

correspondants à ces coniques. . .

Si ces rayons doubles sont réels, le point g sera un point double ordinaire.

S’ils sont imaginaires, le point g sera un point conjn- . '

gué ou isolé. •

Enfin , s’ils se confondent en un seul , le point g sera un • '•

point de rebroussement.

Si l’on veut que les tangentes aux deux branches de la courbe qui passent au point g aient des directions délermi- ' , ■ nées, il faut diminuer le nombre des conditions. Car ces; tangentes (qui peuvent d’ailleurs être réelles, imaginaires , ’

ou coïncidentes) étant les rayons doubles deé deux fais-

ceaux hoinograpliiques, il ne faut plus qu’un seul point « •

pour achever de déterminer complètement ces faisceaux et,

par conséquent , la construction de la courbe du troisième ordre.

§ VIII. — Questions concernant tes intersections de deux courbes • du troisième ordre.

39. Je continuerai, dans ce qui va suivre, à employer ; * . les mêmes dénominations. Les coniques génératrices seront désignées par les lettres S ou s ; les lettres S , <7 dési-, ■'

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gncrontdes coniques auxiliaires que chaque question conduira à considérer. Enfin U, U' seront des courbes du troisième ordre.

Cela posé, les intersections de deux courbes du troisième ordre donnent lien aux cinq questions suivantes : -,

i' -40. Première question, -r- Les deux courbes

lJ ,j fiassent par tes points a , b , c , d j, f , h ,

On demande de déterminer la conique 2 sur laquelle se trouvent les cinq autres points d’ intersection n , v, x, y, z.

U et U' ne sont pas tracées', bien entendu.

Solution. — Prenons pour base les quatre points a, b , c, d, etdésiguons cette base par (B). Cherchons le rapport ■Tajiharinonique des quatre coniques génératrices (B, e), (B,/),

(B, g), (B, A). [(B,e) représente la conique passant par les r " cinq points a, b, b, d , e, et ainsi des autres.] Soit X ce rapport. Cherchons aussi le rapport anharmonique X' des quatreconiquc^ (B,e), (B,/), (B, g), (B,i). Décrivons les co- " niques a, o' qui passent, l’une par les points e,f. \ g, h. l’autre par les points e,f, g, i , et qui sont capables , respectivement , <les rapports X , X' (on sait que ces opérations, de même que celle qui va suivre, n’exigent pas le tracé des coniques), a et o 1 , ayant trois points communs c,J\ g, se couperont en un quatrième point réel P, qui est le sommet générateur de la courbe U, et qui appartient à cette courbe.

. ’ Cherchons de même le sommet générateur P de la courbe U'.

Les cinq rayons générateurs inconnus Pu, Pi», P.r, P) , - ' P z forment un faisceau qui est homographique avec le faisceau des cinq rayons P'u, PV, Px, Vj, Pz, parce • - qu’ils sont, l’un et l’autre , homographiques avec le faisceau des coniques génératrices correspondantes (B, u), (B, e) , -

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192 MÉLANGES • k

(B,x), (B, s) . La conique cherchée 2 n’est donc autre

chose que le lieu géométrique de l’intersection de deux rayons homologues de ces faisceaux, qu’il suffit de former avec les données de la question. Or 2 passe eu P et en P', qui sont déjà connus ; on n’a donc que trois nouveaux points de cette courbe à trouver. Voici comment. A la conique génératrice (B,c) correspond le rayon Pe dans le premier faisceau; 011 cherchera le rayon P'e qui lui correspond , quand on la regarde comme faisant partie du second faisceau de coniques; ce qui est facile, comme 011 sait. On cherchera de même les rayons P'<p , P' ^ qui correspondent, respectivement, à Vf, Vg. I.es trois points E, F, G, où se coupent ces trois couples de rayons homologues, sont les trois points qui, avec P et P, déterminent la conique cherchée 2.

Ainsi la question est résolue.

■il . Deuxième question. — On donne les courbes

jj, | passant par les points a, b, c, d f et jj, .,

On demande de déterminer les quatre autres points communs aux deux courbes , V, x, y, z, ou bien deux droites sur lesquelles ils se frouyent deux à deux.

Solution. — Prenant, pour base des coniques génératrices, «, b , c , d , on détermine, comme ci-dessus, les sommets générateurs P, P, et par suite la conique 2 passant pare, a, x, y, z.

Prenant ensuite les quatre points a, b 1 c , c pour base des coniques génératrices , on détermine deux nouveaux sommets générateurs Q, Q', et par suite une nouvelle conique 2' passant par les points d , f, x,jr, z.

2 et 2' se coupent aux quatre points cherchés , qui seront connus , si l’on trace ces corjiqpes.

Mais si l’on veut simplement connaître deux droites sur

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DE GÉOMÉTRIE PURE. ig3

lesquelles ils se trouvent deux à deux, on y parviendra de la manière suivante.

On prendra une nouvelle base a, b, ri, e, qui donnera lieu à deux nouveaux sommets générateurs R, R', et par suite à une nouvelle conique 2" passant par c, o, x ,y, z.

"Et enfin une dernière base a, c, d, e, donnera lieu aux deux sommets générateurs T, T' et à la conique 2'" passant par b, o, x, y, z.

Les coniques 2, 2', 2 ,/ , 2'" sont circonscrites au môme quadrilatère o,x,y, z (réel ou imaginaire), c’est-à-dire ont les mêmes axes de symptose vx , yz. Coupons la figure par une transversale L; les quatre coniques y interceptent respectivement les segments a.al , /3(5', y/, do 1 et les axes de symptose y interceptent le segment <pj/. Celui-ci est inconnu, mais les quatre autres sont aisés à déterminer, sans tracer les coniques. Tous sont en involution. Le problème se trouve donc ramené à celui qui est résolu au n° 271 de la Géométrie supérieure. On connaîtra ainsi les points <jp et y'.

Une seconde transversale fera connaître deux nouveaux points p, tp' des axes de symptose, qui seront ainsi déterminés, sans qu’on ait tracé aucune conique.

Une troisième transversale fournirait , au besoin , deux points de vérification 8,9'.

Ainsi la question est complètement résolue.