AP

PK

etç.,

PK PL PM PD Pr/

Si P b se trouvait être perpendiculaire sur EP, P d deviendrait infini, et le terme — disparaîtrait de l’équation.

7. Le théorème qui précède fournit un moyen simple de déterminer les asymptotes des courbes géométriques , c’està-dire leurs tangentes aux points situés à l’infini.

Soit menée, parallèlement à l’asymptote, une droite PA ( fig. 6) qui rencontre la courbe aux points A, B, . . . . Menons une transversale arbitraire qui la coupe en D, E, I et prenons sur cette transversale une longueur PM déterminée par l’équation

PM — PD + PË + PÎ + •*’ “ \PK + PL + ’ '*/’

l’ asymptote passera évidemment par ce point M ; et si le second membre de l’équation est nul , ce qui donne PM ;= ce , l’asymptote passera à l’infini, et la branche de la courbe sera parabolique. , '

8. Théorème. — Si autour d’un point P on fait tourner une droite PD qui rencontre une courbe géométrique en autant de points D, E, I, etc. , qu’il est marqué par son degré, et si Von prend sur celte droite un point variable M tel, qu'on ait constamment

PM ~ PD ' + ‘ PË VÏ~*7- " '

en observant la règle ordinaire des signes, le lieu du point M sera une ligne droite.

DE GÉOMÉTRIE PURE, ao5

En effet, menons par le point P une droite fixe PA qui rencontre la courbe en autant de points A, B, C, etc. , qu’il est marqué par son degré, et par ces points menons à la courbe les tangentes AK, BL, CN, etc., qui rencontrent la droite PD en K, L, N, etc. On aura (art. 5 , section 1, page ao3)

PD

PË :

PT

~ PK PL PN ^

sera donc égal à cette dernière somme, et comme la

droite PA demeure fixe ainsi que les tangentes AK, BL, CN, etc., pendant le mouvement de la transversale autour du pôle P, il s’ensuit que le point M décrira une droite, en vertu d’une proposition connue (voir, par exemple, b; n° 439 de la Géométrie supérieure , page 3a i).

Si l’on appelle moyenne harmonique entre n segments PD, PE, PI, etc. , le segment Pm déterminé par l’équation

PD