DT

(*) Ceci peut sc prouver de la manière suivante : Soient y =.fx et Y = FX

deux- courbes quelconques. A partir de la même abscisse x— X, augmentons cette abscisse d’une quantité indéterminée h ; les fonctions y et Y deviendront • 4 * ■ *

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dont la différence , A . \

ï = ( r - Y VH- h <-y - r ) + ; h' U" - V' ) -+- £ *’(/" - V” ) H- . . . , ,

exprime relie «le* ordonnée* des deux combes qui répondent à l’abscisse commune * -f-ft. Si les courbes se coupent au point pour lequel x = X .

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• DF. GÉOMF.TRIK PUR K. ., 0(>

I.e cercle définit d’une mauière précise et naturelle' la courbure des lignes géométriques, mais il ne saurait servir • à exprimer la variation de cette courbure, puisque la sienne propre est nulle. On est donc obligé de recourir à la parabole ou à toute autre section conique. Mais, de même que dans le nombre infini des cercles tangents à la courbe au point donné, il n’y en a qu’un qui soit oscillateur et qui ait avec la courbe un contact tellement intime, qu«uctui autre ne peut passer entre lui et la courbe; de meme aussi, parmi les paraboles, en nombre infini qui ont la même courbure que la courbe au point dbnné, il n’y en a qu’une qui soit affectée de la même variation de courbure en ce point et qui ait avec elle une osculation telle, que tous les autres arcs paraboliques qn on peut imaginer passent né- •* cessairement ou en dedans ou en dehors, sans pouvoir se glijsse r en tic les deux. J ai fait voir dans d autres ouvrages v

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si clics so touchant en ce point , c’est-à-dire si elles oui en commun Un si*— . V • *• • ’

■ rond point infiniment voisin , les premières de, Mes et V' sont égalés et » s -t&g

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en ce point, c esl-à-dire un troisième point infiniment voisin commun ' * ! j. .* ■ éjB

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C’est le cas du cercle oscillateur et d une courbe quelconque. 11 vient alors

en supposant h assez petit pour annuler tous les termes qui suivent dans le développement; d’où l’on voit que la différence des troisièmes dérivées qui exprime d’une manière intime la divergence de deux courbes a pour va- N ' *f-r "ï leur . '.m

■ . îto MÉLANGES

qiife cette condition suffit pour la déterminer (*) (voir n°‘ 14,

, - 15 et suivants).

Soient (fig. 9 ) DE l’arc de la courbe , DT la tangente et .TEK. une droite, .parallèle à la normale, sur laquelle on, prend le point K tel, qu’on ait toujours ET.TK = DT. Le lieu géométrique de ce point K est une certaine courbe SKF qui rencoulre en S la normale DS, et dont la tangente SV, au point S, vient couper en V la tangente DT. DS est évidemment^ diamètre du Cercle oscillateur, et son point milieu S'est le centre de courbure. Joignons VS'; faisons, de l’autre côté de DS, l’angle SDIS = S' VI), et soit N le . point où le cercle oscillateur est rencontré par le côté DN de l'angle SDîV. La parabole qui a DN pour diamètre et . pour paramètre dc'ce diamèirc, et qui , de plus, touche en ,'D la droite DT, est précisément la parabole osculatrice .cherchée (**)■ Elle a’, tout à la fois, la même courbure et

(*) Pour le cercle oscillateur* ofi a trois équations de condition, savoir l’égalité dos ordonnées ntl point de contact et celle de deux premières déri- m vécs ; et pour la parabole osculatrice, on en a une quatrième, savoir l’égalité des troisièmes dérivées; en d’autres termes, le cercle est assujetti à pas— * 1 er par trois points de la courbe infiniment voisins, et la parabole par quatre. C'est cç qui fait qup ces deux courbes osculairices sont entièrement déterminées. {Note du traducteur .) «

(.** ) En ;partant de ce principe (qui sera démontré plus loin) que dans toute parabole , la variation de la courbure en un point quelconque est proportionnelle à la tangente trigonométrique de l'angle compris entre le dia- À mètre et la normale qui passent en ce point, divisée par le carré du rayon de courbure, il est facile de prouver que la parabole construite dans les conditions que Maclaurin vient d’indiquer est précisément ja parabole osculatrice de la courbe donnée*. En effet, il suffit de prouver que la variation de sa courbure au point D, qui, en vertu du principe admis est exprimée par

, est la même que celle de la courbe en ce point, laquelle a