MÉLANGES J ' t

lemenl exprimée par — - elle est donc égale à la pre-

• mière multipliée par -, et prise en signe contraire.

Ajoutons que, dans une courbe quelconque DE, la variation du rayon, de courbure est proportionnelle à la tan- » . genle trigonométrique de l’angle DY S' çt que, dans une . • parabole quelconque, elle est proportionnelle à la tangente de l’augle compris entre le diamètre qui passe au point de contact et la normale en. ce point. Ces dernières propositions se déduisent du théorème suivant (*.), comme nous le * v ferons voir ci-après.

; •. . 12. Théorème. — Soient ( fig . io), D un point d'une

• courbe géométrique ,• DS le diamètre du cercle osculateur • au point D, diamètre qui rencontre la courbe en autant •, • de points D, A, B, etc., qu'elle a de dimensions ; DT la

• „ tangente qui rencontre la courbe aux points /, etc., dont.

v . ‘ le nombre est plus faible de deux que ses dimensions , et qui coupe en K, L, etc:, les tangentes AK, BL, et».

La variation de la courbure peut s'exprimer par le ?

-• produit

• \ : . i . • DS ' \DK 4 ~ DL . ’ ’ * -DÏ "

Démonstration .. — En effet, menons la droite DÀ qui ’ coupe la courbe aux points e, i, ... et le cercle osculateur en R, et supposons que l’angle A DT soit aussi petit que nous 1 •. le voudrons. Soit encore D ah la bissectrice du supplément

•> de cet angle, qui rencontre la courbe en D, a, A, etc., puis . ’ menons les tangentes ah, bl, etc., qui coupent DK en h,

/, etc. •, on aura, en vertu du théorème précédent (n° 10),

DR ~Dè + m 4 '' ‘ DÂ D?'" ‘

( * ) Cette déduction est indiquée à la suite du n° 13, note 2 ,. et aux nj} s 14,

13 et suivants. . \ ' (Noir du traducteur.)

v . •• jm

•>* ' .ù+yï: -

■- ..■ ■ * • ■ ...:•». >u ri

d'où

DK GÉOMÉTRIE PG RK.

r . DR De DR. De D i DK D/""

Donc, à limite , quand les droites DK et DÀ- coïncident. * ce qui fait évanouir l’angle KD A, on a

Re iii ,

DR. De DI DK DL

Soit er T une perpendiculaire à la tangente DK, qui coupe cette tangente en T et le cercle osculateur en /•; on a, à la , limite, l’égalité,

sJSr-

donc

Re

’iC/* i-**' « • 3

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re . DS rjt . DS

DR.cT