DI

vertu des égalités précédentes, elle est proportionnelle à . ^

, DS \DI DK DL c. q. F.n. ^ V ;> &

13. On déduit aisément de là l'expression de la variation \ * vT ''■î

du rayon de courbure. En effet, si l’on joint SI, SK, SL, etc., cette variation est égale à l’excès de la somme

, SK, SL, etc. , ■**

des tangentes '-3

des angles DKS, DLS, etc., sur la somme des tangentes des %

. «t * „ .. ... — ,v .-IB

(*) Le triangle e DT doune = tang e DT. Le triangle e< R devient, à ^ V. J«

A rl

; f •’ la limite, rectangle en i‘ et donne JL = tanga K r; mais, dans le cercle SDK ,

' 1 » • on a angle e DT = angle e R r; donc .

( Noie du traductem .) *• v - V * «I

angles DIS (*). Le signe final .de cette différence indique si la courbure augmente ou diminue.

Qu’on prenne donc sur la tangente DT une longueur DV telle, qu’on ait

DV

DK.

DL

DI

qu’on joigne VS' et qu’on fasse l’ang le SDN =DVS' en menant la droite DN qui coupe en N le cercle osculateur. La parabole décrite tangentiellement à DT, nvec un paramètre égal à DN et dont DN serait un diamètre, aura , au point D, la môme variation de courbure que la courbe proposée (**). .1, : -

. (’)Ona * \

DI = DS tang DIS ; DK = DS . tans DKS . .

' on peut donc écrire l'équation du n° 12 de la manière suivante:

1 ■ (tang 1 — tang K — tang L . . . ) ==. variation de la courbure.

DS* • •< . , ï .

Pour passer de U à la variation du rayon de courbure , nous avons vu qu'il

faut multiplier par DS et changer le signe; on aura donc pour cette variation —

tang K H- tang L — tang I — . c. «. r. n.

Il est clair qu’en écrivant . , i au lieu de yL, on introduirait les angles a DS ns

DIS', DKS', DLS',. . au lieu des angles DIS, DKS, DLS,. . ., sans altéré la valeur du résultat. , ■ ^ .*

(**) D’après la manière dont le point V.cst déterminé, la variation du rayon de courbure s’exprime simplement par ' . \ .

. ne' * . * ■* ' » - * «

= tang DVS ' = tang SDN,"

ce qui justifie la première des deux propositions énoncées à la fin du n° II. Quant à la seconde de ces propositions , qui est relative à la variation de la courbure d’une parabole quelconque du second degré, elle n est qu un corollaire d’une propriété générale des courbes du deuxième degré, démontrée par Maclaurin dans la seconde partie de son Traité des courbes géo--. métriques. Pour l’établir clairement, il est necessaire d’entrer avec l’auteur anglais dans quelques détails nouveaux ,dônt la- longueur sera justifiée par l’intérêt qui s'attache au sujet même, et qui feront l’objet des n°* 18 et suivant». , (Note du traducteur .)

DE GÉOMÉTRIE PURE. ai5

14. Addition du Traducteur. — Construction dos tangentes aux courbes géométriques. — Les dernières propositions qui sont relatives à la détermination du rayon de courbure et de sa différentielle dans les courbes géométriques, supposent que l’on connaît la tangente au point de contact, cl Maclaurin ne dit pas comment cette tangente est construite. « Nous nous éloii- » nons, dit M. Chasles, page 148 de Y Aperçu histo- » rique, qu'il n’ait pas eu l’idée de construire aussi d’une » manière purement géométrique, et sans calcul, cette » tangente. Ce problème était du même ordre et plus facile » que celui du cercle osculateur. » En effet, ce problème se résout très-simplement à l’aide du théorème de Newton , qui fait l’objet du n° 2 dé cette Introduction. Nous allons donner, en nous appuyant sur ce théorème, la solution qui est indiquée dans une Note de l’ A perçu historique , page an. Nous nous bornerons à y ajouter la démonstration que M. Chasles a supprimée à cause de- son extrême. ‘ facilité.-

Soit P un point pris arbitrairement dans le plan dune courbe géométrique d’un degré quelconque ; PA , P« , deux transversales quelconques qui rencontrent respectivement la courbe’ aux points A , A', A";, A 1 ", a".'u"\ .... f étant un coefficient constant; on aura , eu vertu du théorème de New ion (n“ 2), ' . ■

TA P. V. PA". PA",. . . =/.P«.Pfl\P„".P„'

éf 4 * »

lé-

Pour un autre point II et dèux nouvelles transversales parallèles aux premières, on aurait de même

na'.nif-.ffj».,;. s=/.np.nj}'.np w . ...

Supposons que le point P soit infiniment voisin du ' J-'

point m de la courbe où l’on veut mener la tangente ; la ' droite infiniment petite Au sera l'élément de la combe Ou "■ '-J :

■V» v -‘jl