Quand plusieurs plans passent par une même droite

D, leurs caractéristiques forment un. hyperboloïdc à une nappe (art. 49 du Mémoire déjà cité). Leurs foyers sont situés (6) sur une autre droite A, qui est la conjuguée de la première. Si , de ces foyers , on abaisse des perpendiculaires sur les caractéristiques de leurs plans respectifs, les pieds de ces perpeudiculaires seront les points aux trajectoires desquels les caractéristiques sont tangentes, respectivement. Il s’agit de déterminer la nature de la courbe formée par ces points.

Pour cela, remarquons que les perpendiculaires en question sont les plus courtes distances des caractéristiques à leurs conjuguées (2a), et qu’elles rencontrent toutes, à angle droit, l’axe de rotation (21). De plus, chacune d’elles est comprise dans un plan qui passe par la droite D, et par conséquent rencontre cette droite. Donc ces perpendiculaires s’appuient constamment sur trois droites fixes, savoir: D, A sa conjuguée, lieu des foyers du faisceau de plans , et X. Mais elles sont en outre parallèles à un plan normal à l’axe de rotation. Donc elles engendrent un paraboloïde hyperbolique. •

Remarquons encore que toutes les caractéristiques s’appuient sur D. Ainsi D est une génératrice commune à l’hyperboloïdect au paraboloïde. Les points qui nous dccupcnt sont ceux de l’intersection de ces deux surfaces. Donc ils sont situés sur une courbe à double courbure du troisième ordre. * -,

Les plans normaux aux trajectoires de ces points enveloppent une figure corrélative de cette courbe , c’est-à-dire une développable du quatrième degré. Ceci peut aussi se déduire de (31).

Ainsi , quand plusieurs plans passent par une même droite, leurs caractéristiques forment un hjperboloïde à une nappe. Chacune de ces droites est tangente à la trajectoire d’un de scs points ; tous ces points sont situés sur

une courbe à double courbure du troisième ordre ; et tes plans normaux à leurs trajectoires enveloppent une surface développable du quatrième degré. *

33. Dans le cas particulier où la droite D est tangente à la trajectoire d’un de ses points, c’est-à-dire est elle-même une caractéristique, tout se simplifie. La conjuguée A de D est normale au plan R, dont Destla caractéristique (14). Soient F le foyer de ce plan , et O le pied de la perpendiculaire abaissée du point F sur D , c’est-à-dire le point à la tra- ■ jectoirc duquel D est tangente. Les normales aux plans qui passent par D, menées par leurs foyers respectifs qui sont sur A , sont toutes contenues dans le plan O A qui est ici un cas particulier du paraboloïde que ces droites forment en général (31), et elles coupent le plan R en des points qui sont tous situés sur la droite FO. Donc les caractéristiques , leurs conjuguées , doivent couper le plan R au point O (26 ) ; et ceci résulte également du n° 22 , puisque , toutes les conjuguées étant dans un même plan, toutes les caractéristiques doivent passer par un même point; l’hyperboloïde'du cas général (31) dégénère ici en un cône du second degré, ce qu’on voit d’ailleurs d’une autre manière , en remarquant que ce point de concours O de toutes les caractéristiques est lui-même un point de la courbe à double courbure du troisième ordre sur laquelle chacune de ces droites s’appuie. Donc enfin,

Quand une droite est tangente à ta trajectoire d’un de ses points, les plans menés par cette droite ont leurs caractéristiques sur un cône du second degré.

34. Si l’on remarque, dans le théorème précédent, que tous les points aux trajectoires desquels les caractéristiques sont tangentes respectivement, se dirigent vers le point fixe O , on en conclut immédiatement que :

• Quand un Corps solide est en mouvement , si, à un in-

s tant quelconque, on demande quels sont les points du corps dont les directions tendent vers un point donné, cest-à-dire dont les tangentes à leurs trajectoires passent par u/i point donné , ces points sont situés sur une courbe à double courbure du troisième ordre ; les tangentes à leurs trajectoires forment un cône du second degré, et les plans normaux à ces trajectoires enveloppent une surface développable du quatrième degré.

35. Les caractéristiques de ces plans normaux sont toutes situées (33) dans un même plan OA, qui a pour foyer le point O. On a donc immédiatement ce théorème :

Les plans qui ont leurs caractéristiques situées dans un meme plan fixe enveloppent une développable du quatrième degré ; leurs foyers sont sur une courbe à double courbure du troisième ordre , et les normales à ces plans, menées par leurs foyers, forment un cône du second degré. Les plans dont ces normales sont les caractéristiques passent tous par une même droite, qui est la tangente à la trajectoire du foyer du plan fixe.

36. En se reportant aux définitions du n°2 , on peut donnera ce théorème un autre énoncé, et cette variété d’explications ne saurait être superflue dans ce sujet difficile et compliqué.

A un instant quelconque du mouvement, tou» les plans du corps touchent leurs développables trajectoires, chacun suivant une droite qui est sa caractéristique actuelle (2).

Si l'on demande comment sont répartis dans l’espace, à cet instant du mouvement , les plans qui touchent leurs développables trajectoires suivant des droites situées dans un même plan donné, ces plans envelopperont une surface développable du quatrième degté. (Aperçu historique, page 407.)

La position de ces droites n’est pas quelconque dans le

2b • MÉLANGES

plan donné; elles enveloppent une parabole. Nous démontrerons ce théorème dans un instant.

Mais, auparavant, remarquons que ce plan donné, quel qu’il soit, a lui-même pour caractéristique une de ces droites. Il est doue un plan tangent à la développable, et il la eoupe suivant une courbe qui n’est évidemment autre chose que l’enveloppe de toutes les droites, suivant lesquelles il coupe les autres plans dont il contient les caractéristiques, c’està-dire qu’elle est 1 enveloppe même de ces caractéristiques. Or on peut voir immédiatement que cette courbe est une conique ; car elle répond corrélativement au cône du second degré , qui a pour base la courbe à double courbure du troisième ordre (corrélative de la surface) et ‘pour sommet un point de cette courbe (corrélatif du plan tangent).

37. Pour déterminer cette courbe plus complètement, remarquons que les caractéristiques qui l’enveloppent jouissent de cette propriété qu’un de leurs points se meut dans leur propre direction. Tous ces points se meuvent donc dans le plan où se trouvent les caractéristiques auxquelles ils appartiennent. Or les points de la caractéristique de ce plan sont les seuls points de ce plan qui s’y meuvent (5); donc la conique cherchée est la courbe enveloppe des tangentes aux trajectoires des points d’une droite qui se meut dans un plan , et le problème qui nous occupe est ramené à celui de savoir quelle est la nature de celte enveloppe.

38. Quand une droite se meut dans un plan, elle est tangente à la trajectoire d’un de ses points, et elle est la caractéristique du plan ; elle tourne autour du foyer de ce plan. Prenons cette droite dans deux positions infiniment voisines L, U. Les points a , b , c, d, etc., qui vienneut se placer en a b\ c\ d' , etc., divisent homographiquement les deux droites; donc les trajectoires aa h , bb', cc', etc., prolongées , enveloppent une conique [Géométrie supérieure,

n os 548 el suivants). Les points de division s'étendent à l’infini sur L et \J à la fois donc la courbe a une de ses tangentes tout entière à l’infini ; c’est donc une parabole symétrique par rapport au point a!, pied de la perpendiculaire abaissée sur L' du foyer du plan. Par construction, ce foyer est tel, que les droites Fa', Fi', Fc 7 , Frf', etc., sont perpendiculaires sur les trajectoires aa', bb\ cd , dd' , etc., (1), c’est-à-dire sur les tangentes à la parabole. Donc le foyer du plan est le foyer de la parabole ; car on sait que, dans cette courbe, les perpendiculaires abaissées du foyer sur ses tangentes ont leurs pieds sur la droite menée par le sommet, perpendiculairement à l’axe. Ainsi,

Quand une droite est tangente à la trajectoire d’un de ses points , les tangentes aux trajectoires de ses autres points sont toutes comprises dans un meme plan, et enveloppent une parabole , quia pour foyer le point (pic nous avons appelé le foyer du plan.

On voit que cette parabole est un cas particulier du paraboloïde du n° 30.

39. D’après le théorème précédent, la conique dont il est question au 11 0 37 est une parabole qui a pour foyer le foyer du plan qui le .contient, et qui est tangent à la surface développable. Or ce plan est normal à la trajectoire •d’un des points de la courbe à double courbure du n° 34. Donc enfin

Chacun des plans normaux aux trajectoires des points du corps qui se dirigent , à un instant du mouvement , vers un point fixe, coupe la surface du quatrième degré qu’ils enveloppent , suivant une parabole qui a son foyer sur la comité à double courbure , lieu géométrique de ces points.

40. Deux points de cette courbe à double courbure sont les foyers de deux plans tangents à la surface développable.

3o MÉLANGES

Donc la droite qui les joint est la conjuguée de l’intersection de ces deux plans. Or, dans le cas actuel, cette intersection est la caractéristique d’un certain plan (36). Donc sa conjuguée estj aussi la caractéristique d’un autre plan (14), et, par suite, elle est tangente à la trajectoire d’un de ses points. Réciproquement, la commune intersection des deux plans es.t la caractéristique du plan normal à la droite de jonction des deux points de la courbe à double courbure. D'où il résulte que ;

Toute droite qui s’appuie en deux points sur la courbe à double courbure est tangente à la trajectoire d’un de ses points , et la droite d’intersection de deux plans tangents à la développable est aussi tangente à la trajectoire d un de ses points.

41. Quand des plans passent par un même point A , leurs caractéristiques s’appuient toutes sur une même courbe à double courbure du troisième ordre ; et les points où ces droites sont tangentes à leurs trajectoires, sont situés sur une surface du troisième degré.

En effet : i°. Les trajectoires de tous les points de l’une quelconque de ces caractéristiques sont situées dans le plan auquel elle appartient (5), et elles y enveloppent une parabole dont le foyer est le foyer même du plan (38). Par le point A situé dans ce plan, on peut mener deux tangentes, à la parabole ; l’une de ces deux tangentes est la trajectoire du point de la caractéristique qui , pendant le mouvement, se dirige vers le point fixe A. Or tous les points dont les trajectoires ont cette direction, sont situés sur uuc courbe à double courbure du troisième ordre (34); donc toutes les caractéristiques s’appuient sur cette courbe.

2 °. Pour démontrer la seconde partie du théorème, il suffit de prouver qu’une droite quelconque L ne rencontre la surface qu’en trois points. En effet, les tangeutes aux trajectoires des points de cette droite forment un parabo-

DE GÉOMÉTRIE PURE. 3i

loïdc (30), et les plans dont ces tangentes sont les caractéristiques enveloppent une surface développable du quatrième degré ( 31) . Par le point A on ne peut mener que trois plans tangents à celte surface (15); donc il n’existe sur L que trois points dont les trajectoires soient les caractéristiques de plans passant par A. Or ces trois points appartiennent à la surface en question ; donc cette surface est du troisième degré.

42. Si l’on mène les tangentes aux trajectoires de tous les points d’un plan , ces droites seront les caractéristiques d’autant de plans; et tous ces plans envelopperont une surface courbe jouissant de la propriété que , par une même droite quelconque L , on ne peut lui mener que trois plans tangents.

En effet , tous les plans menés par une même droite L ont leurs caractéristiques sur un byperboloïde à une nappe (32) , et tous les points où ces droites sont tangentes à leurs trajectoires sont sur une courbe à double courbure du troisième ordre (32). Cette courbe ne rencontre le plan proposé qu’en trois points. Donc il n’existe sur ce plan que trois points tels, que les plans dout les tangentes à leurs trajectoires sont les caractéristiques passant par la droite L. Or ces plans sont trois plans tangents à la surface en question; donc le théorème est démontré.

SECTION II