Ü MÉLANGES
de sa tangente, et on aura p A P a'. P a".. . Pfl'.P a" . .« .
P ~a~*' P A'. P A" . ~ PA'.PA'TTT
Ha. fia'. lia".
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np-.nf'.ûp". , .
en remplaçant^/’ par sa valeur tirée de la seconde équation'.
Les quatre groupes de produits qui forment cette expres-
‘ ' , , PA , , j. m A
sion sont connus : on connaîtra donc — » c est-a-dire ;
P fl ma
donc, si l’on porte sur les transversales m A et ma deuxlongueurs finies qui soient eittre elles dans ce rapport, la droite qui en joindra les extrémités sera parallèle à la tangente cherchée. Le problème est donc résolu.
Le théorème de Carnot ( Géom . sup'. , n° 476 ) donne également un moyen aussi simple que général, de , déterminer le cercle’ osculaleur eu un point quelconque d’une courbe géométrique. En effet, soit ABC un triangle quelconque dont les côtés rencontrent respectivement la courbe aux points a, a 1 , . ... , b , h',. . . , c, c\ . . . ; ce théorème donne la relation • • ■ . . ’ • '
Afl.'Aa'. .
Bb.Bb'. .
Ce. Ce'. . .
A c . A c' Bfl.Bfl'. ..-Cb.Cb'
L’arsons passer par les trois points a , l>', a', un cercle qui , coupe une seconde fois au point |3 le côté PC, du triangle'; on a , par les propriétés des séeanlqs dans le cercle,
Bfl.Bfl' = Bè'. B{i, ,
de sorte que l’équation donne pour la valeur de B^3‘, -
, V Àfl.Afl'... B a" . .' . Cc.Cc';...
^ Ac.Ac'. . , X ... * Cb.Cb'. .
Actuellement, si les deux points a et a 1 sont infiniment; rapprochés du point b 1 , auquel cas le sommet B est luimème sur la courbe au point A',. où l’on veut déterminer le rayon de courbure, le cercle ab'h'fi est, le cercle osculateur, dont l’équation précédente fait connaître la corde B |3 interceptée sur lccôlé BC du triangle, puisque tout est connu
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DE GÉOMÉTRIE Pl)RE. , i/-
dans le second membre de cetie équation. Le cercle est donc déterminé puisqu’on eonnail d’ailleurs la tangente et, par conséquent, la normale en i' sur laquelle se trouvcson centre.
Il faut seulement remarquer que cette solution suppose que la courbe donnée est entièrement tracée.
( Voir la Note finale, du Mémoire sur la dualité et l'homographie, qui fait suite à l ’ Aperçu historique.)
15. Soit (fig- 1 1 ) DT la tangente à une section conique au point D; DE, DA deux transversales arbitraires issues de ce point, et K le point où DE rencontre la tangente menée par le point A. Menons EN et KM parallèles à DT 5
KM
eilfin prenons sur DE une ligne DR = ^ • EN. Le point R
appartiendra au cercle osculateur au point D.
En effet-, si l’on suppose ce. cercle décrit et passant eu R, on a ( 10 )
Qv’ 1 1 KE
DÊ~DK'~DE.DK’
'<i' oi
d’où
DY . DR
DR
DE. DK QV
