DES COURBES DU TROISIÈME DEGRÉ

1. Ou a beaucoup écrit sur les sections coniques mais peu d’auteurs ont abordé cette brandie de la haute Géométrie qui traite des /tourbes du troisième degré. J’espère pourtant montrer quielle 'n’est ni stérile ni dénuée de charmes. Les lignes du-lroisième ordre jouissent en effet

(*) Car, d’après la présente proposition, elle a même variation de cour- » bure que la conique, et, d'après le nota du n° , elle a aussi même courbtire qu’elle, puisqu’elle a pour paramètre de son diamètre dirigé suivant ' D n la corde même‘f)h du cercle osculateur.

' *' ' [Note du traducteur .)*

. { **) L'auleur dit: - Oji a écrit jusqu'à satiété » usqur ud fastidiumfere ; il ne prévoyait pas les hedux travaux qui ont tant enrichi , depuis lors , la théorie Ami 1 , * * *

des coniques.

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de propriétés nombreuses, irès-diÜërcntes de celles que Newton lii autrefois connaître , et' qui me semblent bien dignes d’attirer l'attention des géomètres.

O 11 sait qu'une courbe du troisième degré ne peut être rencontrée par une droite qu’en trois points; cela vient de' cë qu’une équation du troisième degré n’a que trois racines, qui peuvent être toutes réelles. Ainsi , toute droite qui coupe une courbe du troisième degré en deux points réels, la rencontre nécessairement en un troisième. point , ou bien est parallèle à l’asymptote de la courbe , ce qui rentre dans le principe général, puisque dans ce cas le troisième point de rencontre est situé à l’infini. Cela vient dë ce que si deux des racines d’une équation du troisième degré» sont réelles, la troisième l’est également. 11 suit de là qu’une tangente à la courbe la coupe toujours en quelque autre point, car le point de tangence équivaut à deux poipts d’in- • tersectiou. Si cette tangente coupe la courbe en l’un de ses points d'inflexion , elle est en même temps sécante en ce point. Si deux branches se rencontrent, la courbe a un point double , et la tangente en ce point à l’une des branches coupe l'autre branche en ce même point. Enfin , toute autre droite menée parle point double coupe la courbe en un

autre poiui , mais nécessairement en un seul.

2. Proposition I. — Soient deux parallèles qui rencontrent , respectivement , en trois points une courbe du troisième degré ; si T on prend sur chacune d’elles le centre des miennes distances de ces points d'intersection , et quon joigne ces deux centres par une droite, cette droite passera par le centre des moyennes distances de toute autre transversale parallèle à ces deux-là ( voir Géom. sup . , n° 483 ) .

3. Proposition II. — Étant donnée une droite fixe qui coupe en trois points une courbe du troisième degré, si l'on mène deux transversales quelconques parallèles entre

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