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PB GÉOMÉTRIE PURE. aa3

6 . Proposition V. — Si autour d'un point Jixe P on fait tourner une transversale PD, et qu'on prenne constamment sur elle PM égal à la moyenne harmonique des trois segments PD, PE , PF, le lieu du point M sera une ligne droite.

y C’est le théorème de Cotes. 11 a été démontré ci-dessus.

7. Proposition VI. — Trois points d'une courbe du troisième degré étant pris en ligne droite, si l’on mène en • Ces points les tangentes à la courbe, ces tangentes rencontreront la courbe en trois nouveaux points situés en ligne droite ..

Soit FGI1 (fig. 3) la transversale; FA,GB,HClcs trois tangentes ; A ,11, G leurs points de rencontre respectifs avec la courbe. Joignons AB; ‘il faut prouver que celte droite AB passe par le point C. Supposons qu’elle rencontre lu , t ■ courbe en un autre point M, la tangente UC en iN et la transversale en P. Qn a (Prop. IV)

• pS + pb + pm~pâ + pïï' 1 “pn’

donc PN = PM, ce qui exige que les trois points N ,M,C *. coïncident. Donc, etc.

llemarque du traducteur. — Ce théorème est une conséquence immédiate d une proposition beaucoup plus gé- Y • nérale, donnée par M. legénéral Poncelet dans' son Mémoire sur V Analyse des transversales (*) (Journal de Crelle,

• année i83a, page 129 ). En voici l’énoncé :

donc

P ÏÏ f

Si Viol P/' sont les moyennes harmoniques des deux membres de l'équa . lion , celle-ci devient

3 __ 7 F/ ~ vr

(Géoni. su/j. , n° G2 ) , ce qui démontre la fin du théorème.

,(*î l« dois la connaissance de ce beau Mémoire à l'obl^cauce dç -

té.

'it.K

à s*Vv»va

ai4 MÉLANGES • \ ’

«Si parmi les neuf intersections d’une ligne plane du troisième ordre arec trois transversales arbitraires, six quelconques appartiennent à une même ligné du second . ■' ordre, les trois intersections restantes seront à une simple ligne droite ; et réciproquement , si trois quelconques de ces neuf intersections , appartenantes à des transversalesdistinctes , sont situées sur une même droite, les six intersections restantes seront à une simple ligne du second ordre. »

Le lecteur me saura gré, sans doute, de reproduire rci la démonstration de l’illustré auteur. . -

Soit une courbe plane du troisième degré considérée comme transversale d’un triangle quelconque ABC tracé „ sur son plan et dont les côtés la coupent respective.ment en a, a 1 , a"-, b, b 1 ,b" \ c,c^,c".. ,

/ Le théorème de Carnot donne la relation

Aa.An'.Aa" bb.nb'ïtb" Ce. Ce'. Ce" . <•

ac.ac'.ac" ' bïï7b!77b«' 7 ‘ cb.cbi.cb" ~ " l " ,;

supposons, eu particulier,- que le système dès trois couples de points a, a' ; b ,b‘ ; c,c r soient à une ligne quelconque du second ordre, on aura aussi

Aa.Aa' Bè.Bé' Ce. Ce'

fi.e.Ae' B«.Ba' Cb.Cb' ce qui réduit l’équation primitive à cette autre

A a" B b" C lf A c" B fl" Ce

laquelle exprime que les trois dernières intersections a", b" ,d' sont en ligne droite. La réciproque est évidente et le théorème est par conséquent démontré.

M. CJvasl^» , qui, on inc l'adressant, ma fait particulièrement remarquer

ces théorèmes intéressants. *• * **

DE GÉOMÉTRIE PURE. aa5

. La ligue du second ordre peut être remplacée par le système de deux droites quelconques. Elle peut l’ètre aussi par lé système de deux droites coïncidentes. C’est le cas de la proposition V de Maclaurin, qui n’est ainsi qu’une conséquence du théorème démontré 'ci-dessus, ainsi que je l’avais annoncé.

On en conclut encore ( voir le Mémoire déjà cité) que :

Les trois asymptotes {l’une ligne du troisième ordre rencontrent la courbe en trois nouveaux points qui sont en ligne droite.

Car leurs six points de tangence sont sur une même droite, celle de l’infini. M. Poncelet en déduit ce nouveau théorème :

Si par l'un des points d' inflexion d’une courbe du troisième ordre on mène trois transversales arbitraires , les six intersections nouvelles de ces transversales et de la courbe seront à une simple ligne du second ordre, de sorte que trois quelconques d’entre elles, appartenantes à des transversales distinctes, ayant été prises sur une même droite, les trois autres serof U également à une autre droite.

Le corollaire III de la proposition VII de Maclaurin découle de là naturellement, et M. Poncelet en conclut aussi que

Les trois points d’inflexion d'une courbe du troisième ordre sont toujours en ligne droite. C’est la proposition X de Maclaurin.

8. Corollaire. — On conclutdela proposition précédente que, si A,B,C sont trois points en ligne droite d’une courbe du troisième degré, qu’on mène les lignes AF et BG tangentes en F et G et qu’on joigne FG qui coupe la courbe en H, la droite CH sera tangente en II. Supposons, en effet, que la tangente en H coupe la courbe en un point autre que C , ce point serait avec les trois A, B, C sur une même ligne droite, qui couperait ainsi la courbe en quatre points;

ce qui est impossible. Cette conséquence peut aussi se déduire, quoique un peu plus péniblement, de la proposition II.

De même, si A J est tangente en f, et que G f coupe la courbe en A, CA sera tangente en A, et si par les points A ,B,C, on mène à la courbe toutes les tangentes possibles, les points de contact seront, trois à trois respectivement, en ligne droite. ’

9. Proposition VII.— Si d’un point d'une courbe du troisième ordre , on mène deux tangentes à la courbe , la corde de contact coupera la courbe en un second point , et les tangentes en ces deux points se couperont sur la courbe.

C’est-à-dire que si AF et AG ( fig . 4) sont les deux tangentes, FG la corde de contact et HC la tangente en H, CA sera tangente en A. Ceci résulte du corollaire précédent; car en y faisant coïncider les deux points A et B , la droite . CBA devient tangente eii A.

10. Corollaire I. — Si du point C de la courbe, on mène deux tangentes en A et H, et 4u point A deux nouvelles tangentes AF, AG, la corde de contact FG passera par H.

11. Corollaire H. — Soient menées AC, tangente en A, sécante en C ; AF et CH tangentes en F et H , ainsi que la droite de contact FH qui coupe la courbe en G; la droite AG sera tangente en G. Et si par le point C on mène C h tangente en h, qu’on joigne AF et AG qui rencontrent la .courbe en f et g, les droites Afel A g seront tangentes en y* et en g.

12. Corollaire U J. — Soient AF et AG {fig- 5) deux tangentes issues d’un point d’inflexion A , et FG la corde de contact qui coupe la courbe en H ; la droite AH sera tangente en ce point. En effet, si la tangente en H coupait la courbe en un point autre que A , la droite menée de

' ce point de rencontre au point d’inflexion A serait tangente

"* . Qigitized.bÿ

au point A (proposition VII), ce qui est impossible. On voit d’ailleurs que, d’un point d’inflexion A , on ne peut mener à la courbe que trois tangentes, sans compter celle qui est à la fois tangente et sécante en ce point, et que les trois points de contact sont en ligne droite. De plus , les points d’inflexion sont les scçls points de la courbe qui jouissent de cette propriété que les trois tangentes qui en sont issues ont leurs points de contact en ligne droite. Car soient F, G, H, trois points en ligne droite, et supposons que les tangentes en ces points concourent en un point de la courbe a, autre que l’un de ses points d’inflexion ; menons ae tangente en a et sécante en e ; la droite cil toucherait la courbe en H, en vertu du théorème VII 5 les droites eH et «H seraient donc en même temps tangentes en II, ce qui est absurde. Donc, etc.

13. Pbopositjoh VIII . — D’un point quelconque d'nne courbe du troisième degré soient menées trois tangentes à la courbe; si l on joint deux des points de contact, cette corde coupé la courbe en un point. Joignant ce point au troisième point de contact, on obtient une droite qui coupe la courbe en un nouveau point. La tangente en ce dernier point 'est précisément la droite qui le* joint au point donné.- ■ > ' ' • v

Soient A le point-donné ( fig . 4); AF, AG, Af les tangentes en F , G,/; G f une des cordes de contact qui coupe la courbe en N ; NF la droite qui joint le point N au troisième point de contact F et qui coupe la courbe en g. Il faut prouverque Ag est tangente eng. En eflet, soit menée AC tangente en A et sécante en Ç \ les points G, N, /étant en ligne droite et les tangentes en G et / passant par A , 1 il résulte de la proposition VII que la tangeute en 3\ coupe la courbe en C, au même point que la tangente en A. Mais les points F., N , g sont aussi en ligne droite, et les tangentes FA et NC rencontrent la courbe en A et C; donc,

puisque AC est tangente en A , la tangente en g doit passer par A (proposition VI, Coroll.).

IA. Corollaire. — On conclut de là que si l’on veut décrire la courbe, étant données trois tangentes concourant • en un même point ainsi que leurs trois points de contact, 'on trouve immédiatement un quatrième point de contact, ainsi que la tangente en ce point, laquelle passe par le point de Concours des trois autres. On en conclut aussi, que d’un point d’une ligne du troisième ordre on ne peut mener à la courbe que quatre tangentes, sans compter celle qui la touche en ce point même. Car, si l’on pouvait en mener une cinquième, on voit, par ce qui précède (*), qu'on en pourrait mener une infinité, ce qui est absurde. Au reste, on donnera plus loin, art. 27, une nouvelle démonstration de ce corollaire.

15. Proposition IX. — Si d’un point d’inflexion on mène, trois tahgentes à la courbe, la corde des contacts coupera harmoniquement toute transversale menée par ce point et terminée à la courbe.

Soit A le point d’inflexion (Jig. 5); AF, AG, AN les tangentes en F, G, II. Menons par le point A une transversale quelconque qui rencontre la courbe en B et C , et la corde des contacts FH en P; on aura

En effet., les trois tangentes eh F, G, H concourant au

(*} Supposons qu'on ait une cinquième tangente A f tangente en/' ; en joignant/' G , on détermine un nQUveau point N r qui, joint au point F, donne un nouveau point g' tel, que Ag' est tangente en ce point, d’oprès la proposition même. Ce point g' en fournirait un autre g'\ et ainsi de suite à l'infini.

(**) On ne doit pas s'attendre à trouver dans Maclaurin le principe absolu des signes, tel qu'il a été établi par M. Chasles dans sa Géométrie supérieure. Néanmoins il y a souvent égards

doU PB PC — PA ’

DE GÉOMÉTRIE PLRE.

même poinl A, ou a (proposilion IV)

PB ^ PA PC ~ PA ce qui prouve que ( Géom . sup., art. 61) PA est la moyenne harmonique entre les deux segments PB et PC, terminés à la courbe. Donc, etc.

Ce théorème exprime une propriété remarquablement , simple des courbes du troisième degré.- .

16. Corollaire I. — Toute droite qui divise hanuoniquement deux transversales quelconques issues d’un point d’inflexion et terminées à la courbe, divise de même toute autre transversale issue de ce point (*).

17. Corollaire 11 . — Si une parallèle à l’asymptote, menée par un point d’inflexion, coupe la droite FH en R et la courbe en O , on aura

“ iîô = irÂ ; d ’ 01 ' 1 RA = 2R0 -

Remarque du traducteur. — Les propriétés du point d’inflexion A et de la corde de contact FG offrent une analogie frappante avec celles du pôle et de la polaire dans les courbes du second degré. Aussi M. Chasles donne-t-il à la droite FG la dénomination de polaire ( Aperçu his- ' torique, Note XX, page 349).

Dans cette Nôte, l’auteur s’appuyant sur la proposition IX de.Maclaurm , prouve très-simplement qu’une courbe quelconque du troisième degré peut toujours être regardée comme étant l’ombre ou la perspective d’une des cinq paraboles divergentës (théorème dû à Newton)’, ou comme

(*) On peut conclu rode là que les droites Ce, B b, qui joignent deux points de sccance , se coupent sur GPF; car les rapports enharmoniques des points À,B,P,C 7 et A t b t p,c sont égaux ; or deux points homologues coïncident en A; donc, etc. Donc GPF est le lieu du point de concours Q. Ce théorème cji, du reste, démontré plus loin.

, , .. -{Note du traducteur .) ' ’

a3o MÉLANGES

celle d’une des cinq courbes du troisième degré qui ont un centre.

L 'Aperçu historique étant devenu fort rare, on sera sans doute bien aise de trouver ici la démonstration textuelle de M. Chasles :

On sait que toute courbe du troisième degréaunoutrois points d’inflexion; qu’on la projette, c’est-à-dire qu’on en fasse la perspective, de manière que l’un de ses points d’inflexion passe à l’infini; sa polaire, à cause de la proposition IX de Maclaurin, deviendra un diamètre de 'la courbe. C’est là l’origine des diamètres dans les courbes' du troisième degré. • .•

» Maintenant, que la perspective soit faite de manièreque non-seulement le point d’inflexion, mais la tangente à la courbe en ce point, passe tout entière à l’infini, la courbe aura un diamètre et n’aura aucune asymptote, ellesera purement parabolique. 11 est donc démontré qu’une courbe quelconque du troisième degré peut êtreprojetée perspectivement suivant une des cinq paraboles divergentes; d’où résulte que, réciproquement, ces cinq courbes peuvent produire, par leur ombre , toutes les autres. C’est le théorème de Newton.

» Actuellement, prenonsla polaire d’un point d’inflexion . de la courbe proposée, et projetons cette courbe, perspectivement, de manière que cette polaire passe à l’infini; il résulte, de la proposition IX de Maclaurin, que le point d’inflexion sera en projection le centre de la courbe. Ainsi donc toute courbe du troisième degré peut être projetée perspectivement suivant une courbe ayant un centre; d’où résulte que, réciproquement, les cinq courbes qui ont un centre peuvent produire, par leur ombre, toutes les autres.

» Ce théorème et celui de Newton peuvent être compris sous ce seul énoncé, savoir : ■ ‘

» Ainsique les courbes du second degré ne peuvent donner

DE GÉOMÉTRIE PURE. ' ' 23i

lieu quà une seule espèce de cône , de même les courbes dutroisiènie degré ne peuvent donner Heu quà cinq espèces de cônes;

» En coupant ces cônes d r une certaine manière, on forme les cinq paraboles divergentes ;

» En les coupant d' une autre maniéré, on forme les cinq courbes qui ont un centre (Aperçu historique, page 349). ”

18. Proposition X. — Toute droite qui passe par deux points d’inflexion passe aussi par le troisième , ou bien est parallèle à l’asymptote des branches infinies de la courbe (dont le troisième point d’inflexion se trouve alors à T infini).

Soient (Jig . 6) A et a deux points d’inflexion; la droite ha coupe la courbe au point a qui est aussi un point d’inflexion; c’est là ce qu’il faut prouver. En effet, supposons que la tangente en a coupe la courbe en e, les trois points A , a , e seraient en ligne droite (*) ; mais les points A, a, a sont en ligne droite, par hypothèse. Cette ligne rencontrerait donc la courbe en quatre points, ce qui est absurde.

Menons, parallèlement à l’asymptote, la droite AO qui coupe la courbe eû O. et la ligne OQ, tangente en O, sécante en Q. Si l’on joint AQ, cette droite passera par le point D où la courbe est. coupée par son asymptote ( ¥¥ ).

{ " ) Ceci résulte de la proposition VI. Car les trois points étant en ligne droite, les tangentes on ces points coupent la courbe en trois points situes en ligne droite. Or les tangentes.en À et a coupent la courbe en A et</; donc les trois points A, a, e seraient en ligne droite.

{*"-) AO coupe la courbe à l’inJini. Les tangentes aux trois points A, O et oo , coupent donc la edurbe en trois points situés en ligne droite. Or Tune coupe en A, l'antre en Q et la troisième en D ; donc, etc.

. Pour démontrer la dernière partie doda proposition X , qu^l'auteur passé 'sous silence , il suffît d'ajouter : si A a coupe la courbe en trois points, le théorème démontre que le troisième point est un point d'iiriTcitonf, et sielje ne le coupe qu’en deux j c’est une preuve qu’elle est parallèle à l’asymptote Donc, etc. • t. - s * - ’■ ÇNoï& ihi jraductcur.) %

23a MÉLANGES * '

.. 19. Proposition XI. — D'un point d'inflexion A (fig. 5)

on mène à la courbe les tangentes AF’, AG, AH et deux sécantes quelconques ABC, Abc. Si l’on joint BA et Ce , ou Bc et b C, ces droites se couperont sur la corde des contacts FH.

Supposons, en effet, que B h rencontre FH en Q et que BC la rencontre en P; joignons QA et QC; on a (proposition IX) .* •