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.les droites QA, QB, QP, QC forment doue un faisçeau harmonique , d’où il résulte que -

A b pb

S.C ' pc

c et p étant respectivement les points de rencontre de AB avec QC et FH; c sera donc un point de la courbe (proposition IX) , et il en résulte que lift et Ce concourent au même point Q de FH- On prouverait de même que Bç et bC se coupent en q sur celte même droite.

20. Corollaire I . — D’un point Q de la droite FH, soient menées les transversales QB , QC qui coupent la courbe aux points B, ft, M et C, c, N. Les droites CB, çb, MA concourent au point d’inflexion A, et les droites BoetAC, Mc et N A, B A et Ce, NB et MC se couperont, deux à deux, sur FH (*).

21 . Corollaire II . — Les tangentes en B et C se coupent en un point T de la droite FH. Donc, réciproquement, si d’un point quelconque de FH on mène deux tangentes à la courbe, la corde de contact passera par le point d’inflexion.

( *) Cet énonce de Maolaurin est évidemment-incomplet. Il faut ajouter' que les deux transversales Qîl, QC, au lieu d’étre arbitraires toutes deux, . doivent être choisies de manière à former uti faisceau harmonique avec la polaire GF et avec la droite QA, qui joint le point Q au point d'inflexion.

PE GÉOMÉTRIE PURE Et si l'on prend un second point T', duquel on mène deux nouvelles tangentes et qu’on joigne , inversement , les poinls de contact des tangentes issues de T avec les points de contact des tangentes issues de T', on aura de nouvelles cordes de contact qui se couperont sur la droite E’H (*).

22. Corollaire 111. — Soient A un point d'inflexion ; B, C, b, c, les poinls de rencontre de la courbe par deux transversales issues du point A; la droite FH est, par cela même, déterminée. Car les droites BZ> et Ce se rencontrent en Q, et les droites Be et b C en q. La droite est précisément la corde des contacts FGH. Or, si, outre ces cinq points, on en donne deux autres J\I et rrt, la courbe du troisième degré assujettie à passer par sept points A, B, b, c , M et m et à avoir une inflexion en A, est complètement déterminée. Car les points M et m fixent (proposition IX) les points de rencontre N et » des sécantes AM et A rn avec la courbe, et l’on a ainsi neuf conditions pour déterminer la courbe. Si l'on donnait, au contraire, trois nouveaux points M, m, S, au lieu de dèux , il y aurait surabondance de conditions ; car ces trois points en fourniraient trois -autres.IV, », s, ce qui ferait en tout onze conditions. De même encore., si l’on donne un point d’inflexion A, deux tangentes AF, AG, et leurs poinls de contact F, G et deux autres poinls M et m, la courbe est déterminée. Car on cou naît la droite FG et par suite deux nouveaux poinls 3V et », en tout neuf conditions (**).

. 23. Corollaire 1 'V. — Si les droites I1B, HC (ftg- 7 ) sou! tangentes à la courbe en B et C, la-corde de contact CB passe parle point •d’inllcxion A ; les droites CG et FB concourent en un point V de la courbe , et la ligne VH est tangente en V - « - - — , ___________________

( * ) Ceci se démontre comme on l’a fait plus haut dans un cas analogue ( voir la note du n° 16). ( Note, du traducteur .)

(** ) "On peut remarquer «[tic, clans tous les cas, la point d'inflexion tient lieu de trois conditions. • * . *(Wn/e du traducteur.)

(proposition Vil). Maintenant, pour détermine!' la tangente au point d’inflexion A , il suffit de mener AV qui coupe en L la ligne PL , menée par le point P parallèlement à AH, de prendre le milieu X du segment PL et de joindre AX.

En effet , supposons que la tangente en A coupe en S la droite FH (proposition IV; ici deux points de sécance de la transversale coïncident en H) ; on aura

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