RELATIONS MÉTRIQUES
43. Soient ( jig. 2 ) r la plus courte .distance d’une droite D à l’axe de rotation X , et p la plus courte distance de la droite conjuguée A au même axe. Ces deux ligues
se mesurent sur une même droite AB, comme il a été dit précédemment (21).
Par un point O, menons Oe et Od parallèles à A et D, respectivement. Les trois droites X, O d, Oe, sont dans un même plan , normal à la plus courte distance des deux droites.
Coupons maintenant la figure par un plan M perpendiculaire à l’axe X, et soient a, e, p, d, b les points où ce plan est rencontré par les diverses lignes que nous avons tracées. Les points a, p, b sont en ligne droite (20) ; les lignes flO, bd sont parallèles et égales, respectivement, à OA et OB; ainsi les triangles pne, pbd sont semblables , et ils donnent
pd r
pe ~ p’
les triangles rectangles pOd, p Oe donnent
pd z=pO. tanga, et /«?•=/> O. tang [L
Donc, en désignant par (D, X) et (A, X) les angles a et [3 que l’axe. X fait avec les deux droites conjuguées D et A, il vient
r.tang(A, X) = p.tang(D, X).
Considérons maintenant le mouvement du point A relativement à l’axe X, et soient u la rotation du corps autour de X et e la translation de cet axe dans sa propre direction, c’est-à-dire l’espace décrit par chacun de ses points,
La trajectoire AL du point A se compose d’une translation AI égale et parallèle à e , et d’une rotation IL égale à p u, perpendiculaire à AI et située dans un plan normal à X. Ainsi le triangle AIL est rectangle en I , et son plan est normal à la plus courte distance des deux droites. Ce triangle donne.
pu = e.tang IAL.
En second lieu, considérons le mouvement du corps
comme effectué autour des deux axes de rotations simultanées D, A. Puisque A est sur l’axe A, son mouvement se réduit à une rotation autour de D. En vertu de cette rotation-, ce point décrit un arc infiniment petit AL dans un plan UAL normal à D) et se transporte au point L où nous avons déjà supposé que l'amenaient sa rotation autour de X et sa translation suivant cet axe. Donc la trajectoire AL est perpendiculaire à l’axe D ,-et si ,-par le point A , on mène AïY parallèle à D, les angles I AL IA D' sont complémentaires on a donc
tan"' IAL , — — — — 7= —
tanglAD tang (D, X)-
et l’équation
devient
p v = e. tang IAI.
P- tang (D, X) = --
Donc, enfin, on a les relations suivantes, qu’il s’agissait d’établir,
r . tang ( A , X ) = 0 . tang ( D , X) =
Les deux droites D, A, sont deux axes conjugués de' rotation , '■c’est-à-dire deux axes autour desquels on peut donner au corps deux rotations simultanées pour opérer son déplacement. Nous pouvons donc dire qu 'ün premier axe de rotation étant pris à volonté, l’inclinaison du deuxième axe sur l'axe central X ne dépendra que de la distance du premier axe à cet axe central.
44. Remarque. — Nous avons vu (29) qu’on peut conjuguer, deux à deux, toutes les génératrices d’un hyper- . holoïde à une nappe', de manière qu’elles jouissent des propriétés de deux axes conjugués de rotation d’un corps. On peut appliquer l’équation précédente à deux ‘de ces génératrices , .et l’oh a cette propriété:
Les tangentes des angles que deux génératrices conjuguées font arec l'axe fixe que rencontre leur plus courte distance, sont entre elles comme les distances de ces deux droites à cet axe.
Ao. Si la droite. D est dirigée suivant la trajectoire d’un de ses points, la droite, A sera dans le plan normal à cette trajectoire (2S),,ef l’on aura
d’où
<.ang (,D,.X). tang , X) = i , e 1
rp = - constante.
46. Soient 12. et w les rotations autour de deux droites D , A. On a évidemment
AL
ou a’ ( /• 4- p }’ = e 1 + v 1 p%
et , de même ,
Afin d’obtenir ces valeurs en fonction de la position de la première droite D, remplaçons p par sa valeur
- . , e cos (D, X)
u sin ( D ; X ) ’
tirée de l’équation du n° 43. On aura, après quelques réductions faciles,
et
[ru sin (D, X) -(- e cos( D, X)] 1 u 5 ( e * -h r* u*) sin-(D, X)
~ [ru. sin (D, X) + e.cos (D, X)] 1 47. Le rapport de ces deux quantités a pour valeur
w r sin 1 (D, X) c’-t-r’u 2
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DK GÉOMÉTRIE PURE. '
Or, dans Je triangle RI'L' (analogue à AIL) , on a BI'= BL'.cosI'UL'= BL'.sin (A,.X),
d’où
Dont
sin’ (A , X).
il sin(A,X)
sin (D, X)
Cette équation fait voir que, si par un point on mène deux droites parallèles aux deux axes conjugués D, A, et proportionnelles aux rotations du corps autour de ces deux axes, la diagonale du parallélogramme construit sur cçs deux droites sera parallèle à l'axe central de rotation X. , ''
Démontrons que cette diagonale est, en outre, proportionnelle à la rotation du corps autour de X. On a
S 1 — O . 7 H- w 1 -+- 2 n . m cos ( D , A), cos (D , A) = cos (D, X) cos (A, X) — sin (D , X) .sin (A, X). On a aussi (43)
tang (A, X) = c— » vr
d’où ' . ...
