Corollaire II J . — Si HK ne coupe la courbe qu’au

point H, on ne pourra mener du point A que deux tangen- ■ tes à la courbe. En général, d’un point A d'une courbe du troisième degré', on ne peut mènera la courbe que quatre tangentes telles que AF, AC, A j\ kg. Car si l’on pouvait en mener une einquième Acp, la droite HK devrait passer par cejfoinlœ, et l’on aurait ainsi quatre points situés sur la mèmè transversale : ce qui est absurde. . ,

28. Proposition XIII. — Si d'un point d’une coiu'be du troisième degré on mène quatre tangentes à la courbe , les cordes de contact se couperont sur la courbe, et toute transversale , issue du point donné , sera divisée harmoniquement par la-courbe et par deux quelconques des cordes de contact passant par les quatre points de tangence.

Soient A [fig- 8) le point donné, AF, At>, A f, Ag les tangentes aux points F, G, /, g. Joignons FC etjg, qui sont rencontrées en P et 1S par la transversale ABC, issue du point A; INC sera divisée harmoniquement eu B et P, et l’on aura la relation

NÇ^CP- v ■ *

' NB ~ PB'

(*) En effet, F# coupe la courbe, en R, point de contact de la tangente MR , issue du point M où la tangente en A coupe la courbe ( proposition VH)„ et Gy coupe la courue au mcnitf point, en vertu de la même proposition. Le même raisonnement s’applique au point !..

' . . \Koif du tr*rUnt'i ui

DK GÉOMÉTRIE PURE. * ■

Ceci est une conséquence du corollaire 11 de la proposi- , lion XII (par la réciproque). Les cordes de contact FG, ••

Jg se rencontrent en H surla courbe, d après le même corollaire, et de même les cordes F f'Gg, F# et G f secOupent deux à deux sur là courbe aux points E et R (*). On voit aussi que MA, ME, MR, M1I sont quatre tangentes aux points A, F,, R , H, issues du point M. Donc, en vertu du théorème, les cordes de contact AEét 1IK., AR et HE, AH UE se coupent deux à deux sur la courbe.

Remarque du traducteur. — La figure représente un quadrilatère complet, dont les six sommets s’appuient sur • -

la courbe, et le théorème exprime que quand un quadrilatère satisfait à celte condition, les tangentes à la courbe, menées par deux sommets opposés , se coupent sur cette * .

courbe. . . *

Clest la généralisation d’un théorème analogue dans les. . courbes du deuxième degré [Aperçu historique, page 1 49 ) • ' ••

29. Corollaire. — Les droites HK, 1IB, HP, HC forment -v.. ' un faisceau harmonique. Donc,, si les droites HB et IIC . . .

coupent la courbe en b et c, les poiuts A, b , c seront en • ’ ligne droite. En effet, si Ai coupe la courbe en b et c HP en et HK en n, on aura (proposition XII) ■

( . ‘ juf pd .-v 'i . * " '

' ’• Vb ~ jb' ’ ; v.*

mais si b et c" sont les points où Ai coupe le faisceau harmoniqué, on a

• . ; - ne. pc . ’

nb > p b'

donc les points c, c et c" coïncident, et le corollaire est démontré. 1

30. Proposition XIV. — D’un point quelconque A d’une courbe du troisième degré, qui a un point double en O, soient menées AF et AG tangentes en F et G, la

corde de contact FG coupera la courbe en H ; qu'on joigne OH et qu'on mène par le point A une transversale quelconque AB qui coupe la courbe en B et G, la droite FG en P et la droite OH en N. La droite NP sera divisée harmo niquement aux points B et C, et l'on aura la relation

PB BN ;

PC~~nÇ' ^

En effet, joignons AO qui coupe FG en p et la tangente* HL en <; puisque O est un point double, l’équation de la proposition IV donne

d’où

p O p K p A pt ’

pA pt p O

Ainsi p A est divisée harmoniquement en t et O. Donc les droites H/>, H*, HO, HA forment un faisceau harmonique. Si PA rencontre la tangente LH en T, on a (proposition IV )

d’où