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PB BN PC ~ àc

DE GÉOMÉTRIE' PURE. 23g

31. Corollaire. — Si la tangente HL rcnconLre en Z la droite GZ parallèle à AH et qu’on prenne GV = 2 GZ, la droite HV passera par le point double de la courbe, si elle en a un (*).

Si une droite Gra coupe AII et HR/n a et r, les droites r K et Rfl se couperont en m sur la droite Hw qui fait partie du faisceau harmonique et qui passe par le point double (Géom. sup.).

32. Proposition XV. — - Si d’un point d'une courbe du troisième degré on mène deux tangentes, et que d’un autre point de la courbe on mène des droites au point de contact des deux tangentes , ces droites couperont la courbe en deux nouveaux points , et les tangentes en ces points se couperont sur la courbe.

Soient A (fig. 10 ) le point donné; AF et AG les tangentes en F et G ; P un autre point de la courbe.

Soient menées les droites PF, PG qui coupon L la courbe aux points K et L. Les tangentes en K. et en L se couperont sur la courbe, en un point B, qu’on détermine en menant en P la tangente PC, sécante eu C, et en joignant AC qui coupe la courbe au point cherché B. En effet, les points F, P, K étant en ligne droite, et les tangentes en F et P coupant la courbe en A etC, il s’ensuit que la tangente en K passe par B (proposition VI). Et, par la même raison r la tangente en L passe aussi par le point B.

33. Corollaire. — Soient donc A et B {fig. 1 1 ) deux points quelconques d’une courbe du troisième degré; de chacun d’eux menons à la courbe quatre tangentes, savoir : AF, AG, A f, A g, et, BK, BL, BA, B/. Joignons FK et LG, TFL et g-K, F/ et GA, G / et FA; ces huit droites se

(*) Caria transversale GZ, étant parallèle h l'une (AH) des droites du .. * faisceau harmonique qui a son sommet en H , doit être coupée par les trois autres en deux segments GV et VZ égaux entre eqx.

xjo

couperont, deux à deux, sur la courbe, aux points P, (f, q,p\ et, si l’on mène les tangentes en ces quatre points elles iront toutes concourir au point C où la transversale AB rencontre la courbe. Donc encore, si l’on a trois points d’une courbe du troisième degré en ligne droite, cl que de ■ chacun d’eux on mène quatre tangentes à la courbe, la. droite qui joindra deux quelconques des points de contact coupera la courbe en l’un des autres points de contact, et l’on aura toujours quatre droites concourantes en un même; point de contact, , ", <

Remarque du traducteur. — i°. Il résulte du corollaire, n°33, combiné avec la. proposition VI, n° 7, que les trois ' points P, k, f sont en ligne droite. On a donc ce théorème : Une courbe du troisième degré étant composée (T une branche infinie et d'un ovale, si, par trois points A , B , C pris eu ligne droite sur la branche infinie , on mène les tangentes à l’ovale , on aura six points de contact distribués, trois par trois, dans deux régions distinctes de V ovale ; et si Von joint par des cordes les trois points de contact de chaque région, on formera deux triangles qLG, FKp dont les côtés iront se couper, deux à deux, sur la branche infinie, en trois points £, K, P, situés en ligne droite.

Ces triangles sont donc honiologiques, et l’on en Conclut,- -d’après une propriété bien connue due a- Desargucs, que leurs sommets sont placés, deux à deux, sur trois droites concourantes en un même point. Ces droites pq , LK, GF ne sont autre chose quo les cordes de contact relatives auxtrois-points donnés A, B, C. On a ainsi une démonstration très-simple du théorème suivant, énoncé par M. Chasles .( Nouvelles Annales de Mathématiques , année 1 854.) j dont M. Padula a donné une solution analytique :

Une courbe du troisième degré étant composée d'une ■ branche infinie et d'un- ovale <, si par trois points de la

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J branche infinie on mène les tangentes à l’ovale, les trois cordes de contact passent par un meme point.

. » Je ferai remarquer qu'on pourrait encore déduire ce théo-

rème du précédent, en s’appuyant sur la proposition 359 de

>' . la Géométrie supérieure. Le théorème deMaclaurin donne

• ' • aussi , au moyeu d’un raisonnement entièrement semblable

’ à celui qui précède, un second théorème analogue à relui de M. Chasles , et qui est ainsi conçu :

• Une courbe du troisième degré étant composée dune-

branche infinie et d'un ovale , si l’on prend trois points en ligne droite sur la branche infinie, et que par l’un d’eux on mène deux tangentes à l’ovale, tandis que par les deux autres on mène, respectivement , deux tangentes à la branche infinie, les trois cordes de contact ainsi déterminées passent par un meme point.

a°. Lzfig. 1 1 représente un hexagone inscrit q LGp KF; on a donc ce théorème :

Si un hexagone a ses six sommets et deux des trois points de concours de ses côtés opposés sur une courbe du troisième degré , le troisième de ces points de concours est

• . aussi sur fa courbe.

C’est une extension du théorème de Pascal sur l’hexagone inscrit aux coniques \A perçu historique , page i4q (*) ]. Mais il n’a pas, dans la théorie des courbes du troisième . ordre, la même portée que dans celle des coniques. Car, si pour ces dernières il exprime une relation générale entre • six points quelconques de la courbe, c’est-à-dire un de plus qu’il n’en faut pour la déterminer, ici il n’établit de liaison qu’entre des points dont le nombre est tout juste suffisant

(*) Ce théorème a été présenté, pour la première fois, sous ce point de vue , par le général Poncelet dans le Mémoire déjà cité : Analyse des trans~ versâtes appliquées à la recherche des propriétés projectives des lignes et surfaces géométriques , inséré dans le Journal mathématique de M. Crelle, tome VIII. apnée 1 832, page i3a,

Digitiz

2/fi MÉLANGÉS \ . ~

pour déterminer la courbe, et qui sont, on outre, choisis dans des positions très-particulières .

34. Proposition XVI. — Soient F et G { lîg. io) doux points (î une courbe du troisième degré tels, que les tangentes en ces points se coupent en A sur la courbe. D’un autre point quelconque P de la courbe , qu'on mène les droites PF, PG sécantes en K ef L; si l’on joint FL et G K, ces droites se couperont sur la courbe. De plus, les tangentes en K et L et celles en P et Q se couperont , respectivement , sur la courbe en B et C , de telle manière que les trois points A , B , C seront en ligne droite . .

En effet, soient menées la tangente en P, qui coupe la courbe en C , et AC qui la rencontre en B ; les droites BK, ’BL seront , en vertu de la proposition précédente, tangentes .aux points K et L. Supposons que LF coupe la courbe en Q', si GK. ne passe pas par ce point Q, elle coupera la courbe en un autre point q. Donc , puisque les trois points L, F, Q sont en ligne droite, et que les tangentes enL etF sont sécantes en B et A , il résulte de la proposition VII que la tangente en Q passera par C. De môme , les points G, K , q étant en ligne droite, et les tangentes en G et K étant sécantes en A et B , la tangente en q passera par C. Les deux droites CQ, C q sont donc toutes deux tangentes à la courbe, et comme elles sont issues du môme point Ç, les points Q et q coïncident. S’il en était autrement, on pourrait (proposition VIII) mener du point C plus de quatre tangentes à la courbe. En effet, soient A f et A g les tangentes eu^ et g issues du point A ; joignons Ff et L g qui coupent la courbe en m et n ; les droites Cm et C n seront tangentes en m et n. On aurait ainsi cinq tangentes issues du point C, savoir: CP, CQ,Cm, Cn, Cy; ce qui est en contradic-* tion arec le corollaire III de I9 proposition XII.

3o. Corollaire 1 . — Si le point P est donné , ainsi que deux points F et G, tellement choisis, que les tangentes en ces.

points se coupent sur la courbe, on tonnait le point de la courbe Q011 vontconcourir les cordes FLetGK.Si l’on mène par le point P une transversale quelconque PRV qui coupe la courbe en R et V, puis les droites QR, QV qui la rencontrentcn rctF, les points P,r, p seront en ligne droite ; car 011 a vu que les tangentes en P et Q se coupent sur la courbe (*).

38 . Corollaire II . — Si l’on prend quatre points F, G, K, L sur une courbe du troisième degré, de manière que les tarigeutescn F et G cl ccllesen K et 1 , se rencontrent, deux à deux, sur la courbe, les cordes de contacts inverses FK et GL, FL et GK se couperont aussi sur la courbe.

37 . Proposition XVII. — Soient F et G deux points d'une courbe du troisième degré (fit*. 10) tels, que les tangentes en ces points se coupent sur la courbe, et quatre autres points L, K, f, g, tels, que. les droites LF et GK, Fl’ et G g se coupent , deux à deux, sur la courbe. Les droites L f et g K , L g et K f se couperont aussi, deux à deux, sur la courbe.

En effet, les tangentes en J e. 1 g et colles en K et L se coupent, deux à deux, sur la courbe, en vertu de la proposition XV jf?*). Jfoûc, en appliquant le deuxième corollaire de la proposition XVI, le théorème est démontré.