Proposition XVffl. — Soit PGLFQK. un quadri

(*) Voici une démonstration de ce corollaire , àirectc et indépendante dû ^ lemme. Quatre droites FQ (Jig. 12 bis) issues de F, ont leur rapport nnbar^monique égal à celui des quatre droites correspondantes G Q, issues dç puisque ccs droites se coupent, respectivement, sur IC. Donc quatre points L ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points correspondants P. Donc le faisceau des droites FP, qui a son sommet en F , est liomographique avec le faisceau des droites GL , gui a son sommet en G. Or Ces deux faisceaux ont un rayon commun suivant FG (ce qui arrive quand le point Q est en a). Donc l’intersection K de deux rayons homologues décrit une droite qui passe en P et E, parce que les deux points sont eux-mèmes las intersections des rayons homologues GE, FC et FD,GI.

,• . {Nu te du traducteur. ) * .

* Digitizpd by Çioogle

DE GÉOMÉTRIE PURE. a/ f 5

lulcre complet inscrit ( fig. i3) , dont les six sommets s'appuient sur une courbe du troisième degré dans les conditions indiquées A la proposition XVI. Qu’on mène les droites IC, CH, HI tangentes en trois des sommets Q, P, L, non situés en ligne droite. Enfin qu’on joigne IG, qui coupe en D la tangente CH, cl HF qui coupe en E la tan gente CI. Les points D, K, E seront situés sur une droite tangente à la courbe au point E.

En effet, supposons que les droites QÉL et FKP pivo- . lent autour du pôle F-, et les droilcs LGP et QKG autour du pôle G, tandis que les points Q, E, P glissent le long des ' taugeutes QI, Ll et PC; alors le point K se mouvra sur DE, en vertu du corollaire précédent. Supposons que les points .

Q, D, P, soient précisément les points de contact des tangentes QI, LI et PC, le point K sera lui-même uu point de la courbe, en vertu de la proposition XV. Si les points • Q, L, P éprouvent alors un déplacement infiniment petit * . le long des tangentes, ils ne cesseront pas de se trouver sur la courbe; le point K s’y trouvera aussi,, et dans une posi- ’ lion infiniment voisine de celle qu'il occupait. Il aura donc marché sur la courbe suivant la tangente : mais il n’a pas . cessé d appartenir à la droite DE; donc cette droite est précisément la tangente au point K.

<41. Corollaire I. — De même, si les droites AF et AG, tangentes en F et G, rencontrent en M et N la droite III tangente c'a L, la droite MP coupera eu d la tangente AG, et la droite QN coupera en e la tangente AF; la droite de passera par K et touchera la courbe en ce point. Les quatre points D, d, e, E seront donc sur une même droite.

Remarque du traducteur. — Ce corollaire donue lieu au théorème suivant :

Étant donné un quadrilatère complet, dont les six sommets s'appuient sur une courbe du troisième degré , si l on mène les tangentes cil quatre de scs sommets, choisis de

Digitiîed by C

manière que trois ne soient pas en ligne droite , on formera un quadrilatère circonscrit dont les diagonales rencontreront la courbe aux points où se croisent les côtés opposés du quadrilatère inscrit.

C’est encore !a généralisation d’un théorème relatif aux coniques.

42. Corollaire 11. — [Jeux points quelconques C et B étant pris sur la courbe, si de chacun d’eux ou mène deux tangentes,' savoir • CQ et CP du point C, BL et BK. du point B, tangentes qui se coupent deux à deux au* points I, H, E, D; alors il arrivera que les droites LQ et EH, LP et ID se couperont deux à deux sur la courbe aux points F et G. Et les tangentes en F et G se couperont aussi sur la courbe en un point A de la droite BC. (Ceci résulte des propositions XVI et XV ÏÏI.) >

43. Corollaire III. — Etant donnés trois points appartenant à une courbe du troisième degré et situés en ligne droite, ainsi que deux tangentes issues de chacun d’eux, on peut, en vertu de la proposition XVIII, déterminer six points de contact. Soient A, B, C trois points dè la courbe situés en ligne droite, et AM, AN, BMI, BDE, CD, CE., six tangentes issues, respectivement, de ces trois points, et se coupant mutuellement, comme l’indique la figure, aux points M, N, e, d ; H, D, h , c ; I, E, n, m. Joignons Ne, Md, ID, EH, mit et ne-, ces droites couperont, respec- ' tivement , les tangentes CI, CD, AN, AM, BH et BE aux points de contact Q, P, G, F, L cl K. La construction de la courbe est donc déterminée. Cependant le problème admet plusieurs solutions, c’est-à-dire qu’il y a plusieürs courbes du troisième degré qui passent par les trois points A, B, C et qui touchent les six droites données; ces courbes sont en nombre déterminé. En effet, qu’on mène les droites Ne, Mr/, ID, EH, ne et mit, qui coupent en p, q,f, g, /, fries tangentes CD, CE, AM, AN, BM et BD. La courbe du

troisième degré satisfera aux conditions du problème en touchant les droites CD et CE, soit en P et Q, soit en p et < 7 ; les droites AM et AN, soit en F et G, soit en f et g; et les droites CD et CE, soit en L et K, soit en l et k. Il est donc prouvé qu’il y a plusieurs courbes du troisième degré qui satisfont 3 UX conditions proposées, mais elles sont en nom. bre déterminé, et par conséquent le problème est lui-mème déterminé (*). . ,.*•< .

44. Corollaire IV. — Etant donnés deux points A et B d'uuecourbe,du troisième degré , ainsi que quatre tangentes AM, AN, BM et BD et trois de leurs points de contact F,

G, L, 'on connaît tOutdesuitelequatrième K., oùla tangente BD touche la courbe. En effet, les droites Ne et LF concourent en Q et la droite QG coupe la tangente BD au point K où celle-ci coupe la courbe. On connaît aussi P, point de concours des droites LG et Mc/. Remarquons que ce pointP - ■ est aussi le point de'concours des droites Md et FL, c’est-à- , dièe qu'il est nécessairement le point de concours commun des trois droites LG, Md et FK. En effet , soit Mer/N un quadrilatère circonscrit quelconque; soient pris les points- Q/ et P sur les diagonales Ne et Md; la droite QFL coupera les côtés opposés M e et MN en F et L ; PLcoupera le côté N d én G; et QG coupera le côté de en K ; et [il résulte de ce qui précède (proposition XVI) que les points F, L, P sont en ligne droite'{' , ' , ‘). Il est donc prouvé que la condition im-

Ç.* ) Le probrème admet huit solutions dift’érentes. (1 Voie du traducteur.}^

( **) On peut démontrer plus directement que les points F, K, P sont en ligne droite, ainsi qu’il suit. Soit Q le point de rencontre de la courbe par la droite LF qui joint deux points do tangence, pris dans les deux systèmes A: et B. Si r<m joipt QG, cette droite eoùpera en K la tangente donnée BK,

* ot co point K sera le point de contact de BK, puisque, d’après la proposition XVl./QG et BK doivent se couper sur la courbe au point de tangence

de cette dernière droite, et la même proposition prouve que les cordes LG et TR se courent qn P sur la. courbe. Donc, etc. (Ici, c’est le point Q qui joue î« rôfe du point P de la proposition XVI , et réciproquement-)

* • / • » (Note du traduc'eur.)

a4» ' . MÉLANGÉS •' >* ' v

posée aux trois droites LG, 1VW et FK de passer par ut» même point n’implique aucune contradiction et qu’elle ne rend pas impossible la solution du problème.

4o. Proposition XIX. — Soient D, E, F (fig. i4) trois points d’une courbe du troisième degré situés en ligne droite et tels, que les trois tangentes menées en ces points soient parallèles. Soit pris sur DF le point P tel , que i PF soit la moyenne harmonique entre PD et PE. Toute transversale issue du point P coupera la courbe en f , d, e de telle manière qu’on aura toujours 2 Pf moyenne harmonique entre Pd et Pe. L’énoncé suppose d’ailleurs que les points d et esont d’un même côté du point P, et f dy côté opposé .

En effet, si les tangentes DK, EL, FM coupent df en K, L, M, on aura (voir l’Introduction, n° S)

P/ PÏt Pc PM PK. PL ’

Soit menée Qq , parallèlement aux tangentes, par le point

Q qui , avec le point P, divise harmoniquement le segment FD, de sorte qu’on ait