PE __ PD , • . ‘V
et supposons que Qq coupe fd en q , on aura
P <7 PK PL
Le second membre de l’équation ci-dessus devient donc égal à PS ~ Vq' Mais0n a
et, par hypothèse, d’où
Py PQ PM PF’
2 PF =t PQ,
2 PM = P q.
quation est égal à
donc
p M PM ~ °>
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Pr Prf+ Pf py : py = ip r; ju,
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•• côté du centre de gravité sera toujours égal à la moitié de •
« *: la moyenne harmonique des deux segments situés du côté ‘ .
- déposé.
. ' SoitP (Jig. i5) le centre de gravilédu triangle VTZ, dont
• ' - les côtés sont coupés en F, D, F-, par la transversale PF;
• 1 *.i * il faut prouver qu’on a ’ .
PF ~ PD + PË‘
- . % * . v. En effet, par le point P menons, parallèlement au côté VZ, la droite MPL qui coupe les côtés VT et ZT en L et M et qui
• coupe en N la droite VPi parallèle au côté ZT. On a
. ;V. MP = PL et TL at à VL. . . • •
. • Les triangles semblables TLM , VLN donnent donc .'•** •'
. •: LM= a LN , -, • * .
\ * . • d'où
• LN = LP et PN = 2 M,’' ~ • J ‘ . :
• . . d’où
rti‘* ‘ * *
PK = 2 PF.
> • Mais de ce qu’on a PL = LN et VE parallèle à PN, il en rér > ‘
. . V. sulleqne les droites VP, VL, VN et VE forment un faisceau
harmonique. Donc les points P, D, K, E sont en rapport. - • .. harmonique, et l’on a la relation
PD *” Pt PR PF ’
1 i qu’il s’agissait de démontrer.
-■/ 49. Proposition XX. — Soient données trois tangentes
- ' VT, VX, TZ (fig. 1 6) à une courbe du troisième degré,
'. de telle manière que les trois points de contact se trouvent • •* ■ . ' “ sur une même ligne droite passant par le centre de gravité ‘ .
s • > ‘ •' du triangle VTZ formé par ces trois tangentes. Toute
transversale menée par le centre de gravité , coupera la
l’ilf •*.**..£* . » - ‘ * i ' ’ f • *•• •*.
■ iw,
Vj,l‘
va
courbe, d'un côté en c, et </</ côté opposé en a et b, de telle sorte qu’on aura toujours 2 Pc moyenne harmonique entre P a et P b.
Eu effet , supposous que P c rencontre les côtés du triangle VTZ eu/, d , e, ci coupc en k la droite VN parallèle au côte TZ : on aura
d’où ■ v-> .‘Vi-.-
Trv. = 777 = (en vertu du lemine) h — - — — 1 — ? L
P/ P k v ; Pc/^Pr P« PA Pc
:n vertu du théo
durtinn , n“ S).
(en vertu du théorème démontré dans l’Intro-
Donc '
VS
Pc“p^ + FÀ ;
ç est-à-dire que Pc est moitié de la moyenne harmonique des segments P a et Pi. c. q. f. d. . '.' 0 ’-
<>(). Proposition XXI. — Soient V (fig. 17) un point double d’une courbe du troisième degré ; VT et VZ les tan - '' ?
gentes en ce point , qui sont coupées en T et Z par la J
droite TZ tangente au point F qui est tel, qu’on a VT—l'Z.
Qu'on joigne F V, sur laquelle on prend FP = i FV. Une ' ‘ Ô '■ *
transversale quelconque issue du point P coupera la courbe *
en c d’une part . et en a et b de l'autre, et 2 Pc sera tou - 7 % "• VV/JJ jours la moyenne harmonique des segments P a et Pb, "/ e’ est-à-dire qu'on aura la relation . ’ '".' U v | -JJ
Pc P a P l>
Yx*-f
En effet , puisque F est le milieu de TZ et que PF= - FV .* * - ’
I est le rentre de gravité du triangle VTZ. P sc trouve 'V \
• ’ • ~ •* • • - • * ■ ■ • . JM
iSi / - MÉLANGES
d'aiHéurs sur la droite des contacts FV. Donc le théorème •résulte de la proposition XX.
