VII.,Si l'on intègre par parties, la fonction — ^j

s'annulle aux deux limites ; donc

VIII. La constante G étant connue, il en est de même des intégrales (16) et (17), ainsi que de toutes celles qu'on peut déduire de ces deux-ci. Il paraît difficile d'en tirer des développements en séries, plus convergents que ceux auxquels je suis parvenu dans le Mémoire cité.

LV. — SUR UN PROBLÈME d'aLGÈBRE LÉGALE ET SUR UNE TRANSFORMATION DE SÉRIE (*) (mARS d8Ç2).

I. D'après le Code civil (art. 757), le droit de l'enfant naturel est d'un tiers de la portion héréditaire qu'il aurait eue, s'il eût été légitime (**).

Soient : / le nombre des enfants légitimes; n le nombre des enfants naturels; x^^^ la part d'un enfant légitime; y^^ la part d'un enfant naturel.

On a d'abord, en prenant pour unité la somme à partager entre les / + n enfants ,

Lu

D'un autre côté, conformément à la prescription ci-dessus,

( *) Note extraite des Nouvelles Annales de Mathématiques.

( **) Cette partie de l'article 757 se rapporte au cas du partage entre enfants légitimes et enfants naturels. Lorsque des enfants naturels concourent avec des ascendants ou des collatéraux , la loi a des conséquences bizarres et même absurdes, dont je ne parlerai pas ici. ( Voyez une brochure intitulée : l'Article 757 — Application de l'Algèbre au Code civil. )

De ces deux relations, on conclut aisément la formule suivante, connue depuis longtemps (*),

''" i U{l + \) 2>H{l+\){l^î) 3"/(/+lJ...U+//) ^''

II. La complication de cette formule est peut-être ce qui empêche les jurisconsultes d'obéir, sinon à l'esprit, du moins au texte de la loi , quand il s'agit pour eux d'effectuer un partage entre enfants légitimes et enfants naturels. Mais on peut la remplacer par une autre expression beaucoup plus commode.

On a en effet

l[l + \){L + 'i)...{(-{.p) 1-2. 3... /> / (1-0/'^' '^5; donc

+ 0)'dQ;

d'où enfin

( *) Ello il été donnée d'a'iorii par M. Coiirnot (Bnllfthi de Féfrifisac, t. XVI, p. 3.)

Il est visible que , pour former la quantité entre parenthèses, il suffit de développer (2 + 1)" et de diviser par /, / + 1 , Z + 2 ,...,/ + ?i les termes du développement. Du reste , il est facile de vérifier, par un procédé purement algébrique , l'équivalence des deux expressions de x^^.

III. Cette équivalence étant démontrée , il en résulte que l'on a

i /(/+!)'' Ui + 1)(/ + 2)" /(^ + l)(/ + 2)(/+3)"

même quand les deux membres, au lieu d'être composés d'un nombre fini de termes , deviennent des séries convergentes. Par exemple , en supposant

on trouve

, , 1 /1\ 1 /lu i liV „/, 11 1

ce qui est exact.