II. De l'identité

\ -2n7ta

on tire

e sm ax c^iz

OU , par une formule connue (**) ,

sni ax , ;c ^ 1

D'un autre côté ,

I X- , aï*

ou

La fonction F (x) est paire ; donc F" (0) = B., ^ = 0.

(*') Sturm, Cours d'Analyse, tome II, p. 15. {*'") Traité élémentaire des Séries, p. 115.

Gonséquemmciit

I sin ax

l'{x)=''lx / -T- ch.O (7).

III. ax étant un arc positif, de grandeur quelconque, et G désignant un nombre compris entre 0 et + 1 , on a

ax a. X , c X f. a X

La formule (7) équivaut donc a

a da X I , a cL

Chacun des éléments de la dernière intégrale est moindre

que -^7^^^ — ; donc e — 1

(•) iVofeXLV, p. 189.

(**) Quand on développe sin a.x par la formule de Mac-Laurin, on vérifie seulement que 6 est compris entre — 1 et + 1 ( Sturm , Cours d'Analyse, tome I, p. 98). Mais , par des considérations très-simples , on prouve les inégalités

iin y.x <i ^or. , sin ax > «a; — Y^ , sin a-x <ici.x — —g- + 19345' ^^'^- '^

d'où résulte

a rfa . a: / c« rfa

0, désignant, comme G , un nombre compris entre 0 et 1.

IV. Si l'on compare les développements (4) et (9), on trouve d'abord la formule de Plana :

'In-l

/ a ace in I -r

B.,„ , = ûzin / ,„„ • (10);

puis l'équation

due à Gauchy, et qui subsiste pour des valeurs quelconques àcx, réelles ou imaginaires.