V. A cause de
— ce ~CCX
\x^ I ^' ~^ doc (12) ,
on a, comme l'on sait, pour toute valeur entière et positive dex,
,2.3....:)= f ^il .-"^-i-Z^inn (13).
(*) Journal de Mathéinatiquea, tome IV, p. 318.
Si donc, comme la lail M. Liouville, on représente par u la fonctîori de x contenue dans ie second membre, on àufa
du / (h.\ -a a
La fraction
ainsi
du dx
/] e " — <?''■' 1 aj. F (a) âx I ,
OU, à cause de la formule (12)
Le n" terme de F (a) étant rrrr^ — r^ ^■'" , l'intégrale définie correspondante devient
r(2«+ 1) Quant à l'intégrale
r(2/i+2) ,^ , elle se réduit à 0, — â^rr » 0, titant compris entre 0 et 1,
Par suite ,
et enfin , par un calcul facile et très-connu ,
Telle est la formule de Stirling. Le facteur 9 , qui entre dans l'expression du reste , est , bien entendu , compris entre 0 et 1 .
LVllI. — SUR LES LIGNES DE COURBURE DE l'eLLIPSOÏDE (mAI 1867).
I. On sait que, /, y-, -j étant les angles formés avec les axes de coordonnées par la normale MN à une surface quelconque S , les lignes de courbure de cette surface peuvent être ainsi représentées :
dx du dz
rf . cos X d . cos p. d . cos v
Introduisons, comme nouvelles variables , le rayon vecteur u et la distance v de l'origine au plan tangent en M ; de manière que
V = X cos l -h y cos [X + z cos V (3),
La normale étant perpendiculaire à l'élément MM' de la ligne de courbure ,
cos / . (U + eus a . dij + eus > . (/.;• = 0 ;
et , par conséquent ,
dv = xd (cos 1) + yd (cos (j.) + zd (cos v) (4).
La valeur commune des rapports (1) est donc
xdx + ydy + zdz udn
rcrf (cos 1) + yd (cos a) + zd (cos v) "" dv '
et l'on peut prendre, comme équations des lignes de courbure,
dx dy dz îidw
rf . cos X d . cos ij. d . cos v riv II. Dans le cas de l'ellipsoïde :
De ces équations , jointes à la relation (:2), on lire
(a* — ^ )(fl' — c)
De plus,
l'cC , , . , vdx + xdv cos A = — , d (cos /.) =
a'rf^r udu vdx + a;rfu rfi' '
OU
(a^lv — i'ur/w) xdx = me* dudv.
Si l'on remplace x- et xdx par leurs valeurs, on trouve, après quelques réductions,
u^v'du- — ?w' (fl- + /^* + fi- — w) dudv + a'b^c*dv^ = 0 (9).
Telle est l'équation différentielle des lignes de eourbure de V ellipsoïde, rapportées aux variables ?/, v.
