III. Pour la simplifier , posons

il vient

YdlV - UrfUrfV + dX' - 0 , OU

Cette équation , qui rentre dans la classe considérée par Clairault, a pour intégrale :

m étant une constante arbitraire.

Par suite, l'intégrale de l'équation (9) est

ou , si l'on remplace m par -7-

abc -f (ir- -n'- — /r — c') / + '-^ f - 0 (42).

— 2'i6 - A cause des valeurs de ir , v'-, celte équation équivaut à,

Ibcl .\ 'cal . \ , labl .\ , , , abc

IV. Les surfaces représentées par l'équation (13) sont des ellipsoïdes ou des hyperboloïdes, ayant mêmes plans principaux que l'ellipsoïde donné, et dont les intersections avec celui-ci sont les lignes de courbure de cette surface.

Lorsque / = -; — rj — ;? , l'équation (13) représente l'origine.

De môme si / = ± oo , etc.

Si l'on élimine le paramètre / entre l'équation (12) et sa dérivée relative à / , on trouve

» Lt .\. ^a'b'c-

Cette relation est une conséquence de :

?/» = «- + b- -f- C' 4- kr , 7— ^ k' ;

donc la surface (14) , enveloppe des ellipsoïdes (13) , peut être engendrée par les intersections d'une série d'ellipsoïdes semblables et de sphères.

En outre, la combinaison des équations (12), (14) conduit à

2 abc + (?r — a'- — b' — c'-) 1 = 0 (15) ;

donc chacun des ellipsoïdes enveloppés touche, suivant iine courbe sphérique , la surface enveloppe.

V. Ajoutons membre à membre les équations (G), (H), après avoir multiplié par >' les deux membres de la première ; le résultat peut être écrit sous la forme abrégée :

7 (/ + -^ + - 1 .r' = /;• -f- ia' + b'- + c°-)'k— abc (lU).

Pour une valeur donnée de /, cette relation appartient à toutes les surfaces du second degré qui passent par la ligne de courbure correspondante : on doit donc pouvoir déterminer A de manière que l'équation (16) représente les hyperboloïdes homofo.caux avec l'ellipsoïde donné. Cette condition conduit à

A' + {g- -j- l>- + C-) L — abc /' + (a' + b' + c') l — abc . / » . lùF+lër+Ud' bl^ A- bH + cal- ~

équation d'où l'on tire

Il /' ^*^* "^ ^^^' + ^'^^ abc

Par suite, l'équation (16) devient

V^ r , bel' /' b'c- + c-f(* -+- a'b- ,, 1 ^mi L fl a a:bc J

= /,' ■ /' -f- (a"- + b- +c-)l — abc ;

abc

ou , plus simplement ,

OU enfin

abc ,, abc , abc