A ddit'wn . — ( Septembre
I. La valeur (A), substituée dans l'équation (1), conduit à la relation
que l'on peut écrire ainsi :
^■'{i"^')^iP + ^)^■'{^")^„^-~'(,") -b,.
Celle-ci ne diffère pas de celle que j'ai employée dans ma Note sur les différences de P^ et sur le calcul des Nombres de Bernoulli (*). La concordance de ces relations est une vérification nouvelle de la formule (A).
IL Les valeurs de x^^ sont précisément celles que j'ai
désignées par A B C^ dans une Note sur la somme
des puissances semblables des nombres naturels {**). De là résulte un rapprochement assez inattendu entre deux problèmes dont les énoncés sont bien différents.
(*) Annali dl Matemcdca pura ad applicata , tome II.
(**■) Nouvelles Annraes de Mathématiqves , tome XV, p. 210.
111. Si l'on veut savoir de combien de manières le nombre N est décomposable en facteurs, il suffît de calculer
n , i il , i n, n.
Soit, par exemple n ~ Q : la table contenue dans la Note dont il vient d'être question donne
donc
iX. — ANALYSE INDÉTERMINÉE DU PREMIER DEGRÉ.
Si les coefficients a, h sont entiers et premiers entre eux, et que c soit entier, les solutions entières de l'équation
ax -h by = c (1)
sont, comme l'on sait, données par les deux formules :
x^y.-hO, y^^ii + a^ (2),
dans lesquelles «, ,6 représentent un système de valeurs entières de x , Il : 0 est un entier quelconque, positif ou négatif. Supposons a, b, c positif. Alors les solutions positives, nécessairement en nomi)re limilé, sont déterminées par les inégalités
A caust^ da
iix "f- bfi ts Q ,
|3 (lii — C
ab
donc les inégalités (3) équivalent à celles-ci :
La différence entre les deux limites de 0 est -y- Consé-
ao
quemment, la "partie entière de -y , ou cette partie entière augmentée d'une unité, indique le nombre des valeurs que Ton peut attribuer à 0. En d'autres termes : le nombre des solutions positives de Véquation (1) est égal à l'un des deux quotients entiers de c par i\h {*).
Addition. —{Septembre 18G5). ^
Considérons d'abord le cas où c serait un multiple de ab : c == ahq. On peut prendre i^ = o, y = bq ; et il est clair, par les formules (2), que 0 peut recevoir tes q + 1 valeurs 0, 1, 2, . . . q {*').
En second lieu, supposons c = ahq 4- C , c' étant positif et moindre que ah-, puis, prenons simultanément les deux équations
ax + by = abq + c' ( A ) ,
fl.T' -f- bif = c' (B),
qui donnent celle-ci :
a{x~x')-\-b{y-])') = abq (C).
(•) Ce petit théorème, que je trouve dans mes notes de 1839, e.st souvent attribué à M. Hermite. J'ignore si ce profond géomètre , ^[\\e je m'iionore d'avoir eu pour élève, l'a publié quelque part.
(*') A vrai dire, les solutions x = o , y = aq; :c r= hq, u =^ o ne sont pas essentieUement positives; néanmoins on peut les compter, parce qu'elles sont non négatives.
Si l'équation (B), qui ne peut avoir plus d'une solution positive, en a réellement une, nous aurons, en désignant par a' , ^', ces valeurs positives de x' ,y' :
y — fi' = aO , X — a' = bq — b9 ;
ou
A cause de c' < aï?, on a
donc les deux dernières formules donneront des valeurs positives si l'on fait 0 = 0, 1 , 2 , . . . (/.
Ainsi, quand V équation (B) admet un systèma de valeurs positives, r équation (A) en admet q + 1.
Si l'équation (B) n'a aucune solution positive, on peut supposer, dans les formules (D) ,
0 <fi' <(i , o> ffJ > — b:
ceci résulte des préliminaires de la théorie. Par suite, les seules valeurs admissibles pour 0 sont 0, 1, 2, r>, . . . q — i. Donc, lorsque Véquation (B) n admet aucune solution positive, l'équation (A) en admet seulement q.
En résumé : 4° Si c = q a b , Véquation
ax -i- by = c
admet q -+- 1 solutions non-négatives ; 2° iS/ c = qab + c, cette même équation admet q + 1 ou q solutions positives, suivant que l'équation auxiliaire
ax' + bij' = c'
a ou na pas de solution positive.
/ CÛS a j;
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