X. — SUR l'intégrale

I. D'après une remarque générale faite par Poisson (**), si l'on appelle i\^^ cette intégrale définie, on trouve aisénnent l'équation linéaire d'ordre %\ :

dans laquelle « y^ représente l'intégrale / cos xxdx,

» Cette intégrale est, en général, indéterminée; mais ici » on peut la supposer nulle; car, en adoptant cette valeur,

» on est conduit à ^/^ = '-^e , valeur exacte {***). »

II. A cause de y — o, l'équation (1) est vérifiée par y^^ z=i e\ t représentant une racine quelconque de

{' ) Le texte Je cette Note, lel qu'il a paiu dans le Jouvnal de LiouviUe , (tome V), renferme quelques fautes do calcul et d'impression. (•*) Journal de l'École polytechnique , (16« cahier, \i. 222). (•**) M. Serreta critiqué, avec raison {Journal de LiouviUe, tome VIII, p. 191)

cos ucc dx, à l'exerapie de

Poisson. J'avais prévu l'objection qui pouvait être faite ; car la phrase guiliemetéé, que je n'ai pas reproduite dans le Journal de LiouviUe , esc tirée de ma rédaction primitive (13 février 1840). Du reste, je dcmue cette démonstration pour ce qu'elle vaut.

OU de

i\-tT=o (2).

Cette équation (â) a n racines égales à 4- 1 , et?^ racines égales à — 1. D'ailleurs l'intégrale proposée ne peut croître indéfiniment avec a; par conséquent la valeur de cette intégrale doit être donnée par la formule

Vn = <'"

Al

Ag + — a + -r^ a* + . . . 4- '

A^, A , . . A^j i étant des constantes qu'il s'agit de déterminer,

îlî. Pour cela, je représente par P le polynôme entre pa^ renthèses , et je prends les n — 1 premières dérivées des deux membres de l'égalité (3), ce qui donne généralement

p irfP ^ i^i~i)d*V ^

et

Id^. 1.2 dx Faisant;^ = o dans les équations (3) et (4), j'obtiens

(?/n) = Ao,

/'y/i') et ( — J représentent les valeurs de ?/., et — -rt-pon-

dant à 5« =^ 0.

La nature des équations (S) permet de les résoudre facilement : on trouve

i{<iîln\ ^ i^i-i/d^y^,

\^Ua:^ J \ dx'^

^'yn\