I. Reprenons les équations

2x + y — i = z (a), 2yz = a {b), y' + s' — 1 = jS (c),

«(3 = m' (rf), s - P (e).

D'après (a), y etz sont de 'parités différentes ; donc y-, |5 sont des multiples c?e 4. Soient

0, 6' ne contenant aucun facteur carré ; autrement dit : e = abcde . . . , G' = a'h'c'd'e' . . . ,

( *) Ces deux Notes ont paru dans les Att.i delV Accademia Pontiflcio de' Ni'ovi Lin cet.

rt, &,c,rf,f,..., d'une part, et ft', b\ C, d',e',..., de l'autre, étant des facteurs premiers inégaux. A cause de l'équation {d), 6S' doit être un carré; donc

et, par conséquent,

Soient

y = py, z = qy (y) ,

^, q étant deux nombres donnés, l'un pair, l'autre impair , premiers entre eux. Les équations (/?), (c) deviennent , à cause des valeurs {f) :

pqy'- - 2Gu* (/() , 0'* + '/*) '/'—! = 4Gy* (A").

Éliminante, on trouve

(/r + q') îr — 2/?</y* = — ;

donc u est divisible par y :

Il = yu' (/) ;

et la relation (h) devient

pq = SBtt'* (A).

-, pq