II. Dans chaque cas particulier, on décomposera donc

en deux facteurs u'-, e , dont l'un soit un carré, l'autre n'admettant aucun facteur carré ; après quoi l'on cherchera les solutions entières de l'équation

Si elle en admet, on emploiera les formules

m. Applications. — 1" ^ = 3, ^ = 4. L'équation (A) donne

en sorte que (B) devient :

(ny)*-6(2i^)' - 1 (1).

L^ sqlutiop la plug sin:iplp est

d'où l'on déduit, par exemple,

7 = 97, 1^ = 99; puis

Conséquemment

49' + 50' + Sr + • - . + 339' = (6.97.99)' ;

ce qui est exact.

^" p = 5, q — 8. On trouve 0=5, u' — 2, puis

89 y' — 5 (2 Vf = 1 (2).

Le développement de \/^ ^'^''^^^ ^ ^ en fraction pon-

tinue donne, comme fractions complètes :

R R + 20 R + Ui R -f- 5 R + 15 R + 18 R + 13 Y' ~~1) ' 31 ' 20 ' 11 ' 11 ' 20 '

, etc.

Par conséquent (*), l'équation (2) n'admet aucune solution entière.

3"]; = 5, ry = l!2. On a w = 1 , 9 = 30 ; donc

(13 yf — 120 if - 1 (3).

Cette équation est vérifiée par

mais , comme la valeur de y est fractionnaire , on doit recourir à la relation

(il + I/T2Ô)" = 13y + V Vm,

en disposant convenablement de n. Après quelques essais , l'on trouve que n = 9 donne

On conclut, de ces valeurs :

(*) Théorie des Nombres , tome I , p. 108.

lx. — sur le 1>lus grand commun diviseur algébrique (septembre 1865).

I. THÉORÈME. Soient F^, F, deux polynômes à coefficients entiers, dont les degrés sont m , \\\ — i. Soit F le reste de la division de B„' F^^ par F^ , B^ étant le coefficient du premier terme de F. Soit, semhlahlement , F le reste de la division de C 'f par F , G étant le coefficient du premier terme de \\. Si les deiirés des restes F^, F. so)if , comme cela arrive ordinairement , \\\ — i2, m — 3, le deuxième reste, F,, est divisible par B<, {*).

En supposant

0 = Ao,x' + A,.x" + AjX -!-...+ A„. (1),

Bo^F„ = F.Q. + F, (3),