C;F, = F,CI, +F

F, = DoO;'""' + D.x"'"'* + . . . + D„.- :j (6),

on voit d'abord que Q est le quotient entier de

B/ (Ao.^, + A, ^' + A,) par B X + B .

(*) Ce théorème est dû, en partie, à M. Labatie [Méthode d'élimination par le plus gra?id commun diviseur , 2« édition , p. S). Mais la démonstration de l'auteur exige que les coefficients «le F^ , F, soient des polynômes , ce qui n'est pas nécessaire.

— 25d — Ainsi

Q, = A„B„:c + A.Bo-A„B, , ou

Q, = Bo{A„.T4-A.)-A,B. (7).

De môme,

Q, = Bo{C,x~~C,) + B,C, (8).

En outre, d'après l'égalité (3), C„ est le coefficient de a;""" dans

Bo' . A, x""- - ( B, x"- + T>, x"'^') [A.BoX + A, B,- AoBJ ;

c'est-à-dire que

C„ = (A,Bo- A„ B,) B„ + (A„ B, - A, B») B. (9)

Pour la même raison, C, est le coefficient de x'"'" dans

Bo' AsX'"" ' ' - (B, x"^' + B, .:c"'~^) [A, Bo x + A, B„ - A» B,] ;

donc

C, = (A3 B„ - A„ B,,) B„ + (A, B. - A„ B.) B, ( lOi.

Maintenant, l'élimination de F,, entre les égalités (3), (o), conduit à

F. = (Co'- + Q, Q.) F. - B„^ Q. Fa (1 1 j.

La seconde partie du second membre est divisible par B, : il suliit donc, pour démontrer le théorème énoncé, de faire voir que la première partie l'est également.

Or, d'après les formules (7), (8), (9) et (10), on a, relativement au module B/ :

Q, Q, = + BoB. (A.C„ + A„C,)-A„B.= Co,

A,Co+A„C, = - (2A„A,B.+A,'B,-f-A„%)B„ + AoB,(A,B.4-AoB,),

Q.Q, = + A„B„B,'(A.B,+A„B.)-A„B,'(A„Br-A„B„B -A.B„B,)

^+ 2AoBoB,'(A. B, + A„B,) — A„B,',

Co = — (AoB, + A,B,)B„ + AoB,%

C„= =-2AoB.*(AoB. + A.B.)B. + Ao'B.*;

donc enfin

C,= + Q, Q. = cMd . b:.