III. l'' En posant
{a* — b') {b' — c') (c* — fl' ) = P ,
on a d'abord
> oî' = — - 2 ft« (6» — c') (ft' — u«) (a' — V)
= — -ïla'{b'—c')-{u*-\-v^)la\b'—c*)+ïi*v*la^b*-c*)ï
Or:
la'ib —c')= —"P (a' + b'- + c') ,
1 fl* {b' — c«) = -~ P ,
2 a* (b* — c) = 0 ; donc
V ic* = a* -h b* + c*~ u* — v* ;
OU
(*) Cette relation, très-connue, est comprise dans un théorème général, que j'ai démontré autrefois {Mémoire sitr la transformation des variables , etc. — Académie de Bruxelles. — 1840.)
2" De même ,
aWPL
OU
3" Des formules (6), on déduit
= -^ n — r;m — ^-^ I t — ^u*du^+'imdudv+ -- — rrfy* ; («*—&*)(«.'— C-) I a*— ît* «*— f* '
ou, en supprimant une somme nulle,
dx'= - ^ u'du* 1 a\b' -c') ^J^l -^^'^^' ^ «'(^'— c')^J^] (9).
Or
De plus, à cause de
la' (b' - c'){a"- — v'){b'' — u'){c* —u')
+ îi* 1 ff ' {b' - c^) - a' b^ c- V' 1 {b* - c*)
+ u^v* la-{b' — c') — u'v- la^b*~c')
= u'la' {b^ — C-) + li* V' 1 a* (b' - c*)
= — Vii^îi^ — v'^).
La relation (9) devient donc , simplement ,
dx'+dy'+dz'={u''—v'') \\]' u^ du' — y'v'dv''~\
dans celle-ci , on suppose, pour abréger ,
îi* ,,. v^
4" On trouve, avec la même facilité,
u^-i)^)ru^rfu'— V^rfvO (11).
5" La quantité V a^^dx- se décompose en
— 2 — - — la'{b^—c^)
fr- la*ib'-c')-r—j.
(*) Eu vertu des inégalités (4), les fonctions tJ% V* sont positives.
— 261 ■ Or:
la'ib'-C') = —V,
De plus, en négligeant deux termes nuls :
la'{b-—c-){a- — v-){0''—u-)ic- — u-)
= Pa^ô^c'— w* 2fl«(**— c*) + u' la' {b- — c-) ■+■ PwV = — pfa-bH''—{b^c^ + c^a^+a^b'')u^ + {a' + b' +c^)u* — u*v-\
= —V\{a''—u^){b- — u*){c''-u')+u'{u' — v*)\. La somme cherchée est donc
et , par conséquent ,
a^dx^
= (iidu + vdvf + (7r — v"-){V>''u^du^ — \^v*dv^) (12).
IV. Soient /, p les dislances du centre 0 à un point quelconque M et au plan tangent en M (*) ; soient, en outre, ds, ds' les éléments MM', mm' d'une courbe et de sa transformée sphérique, déterminée par les formules
X = ax' , y — by' , z =^ cz' :
(*) Le lecteur est prié de faire la figure.
les équations (7), (8), (10), (11) deviennent :
puv = abc (8'),
f/s2 = (m9 v^~) U^u-idu' — V^ v^dv^ I (10') ,
ds'' = (îi^— i^«)fu2rfu2 — V^rfv^l (11').
V. Considérons sur l'ellipsoïde deux espèces de courbes : les unes, intersections de cette surface par des sphères concentriques avec l'ellipsoïde; les autres, lieux des points de contact des plans tangents dont la distance au centre est constante. D'après les relations (T'), (8'), les équations de ces courbes sont, respectivement,
u- + V- = const (*), uv = const.
Ces mômes relations (7'), (8') expriment d'ailleurs que les parai! élipipèdes ayant pour arêtes 1, u, v oî* p, u, v, o??^ les diagonales constantes ou un volume constant.
VI. Soient R, , R, les rayons principaux en un point quelconque de l'ellipsoïde. On sait que
(*) Il est assez remarquable que, dans ce système de coordonnées, YelUpse sphérique soit, pour ainsi dire, représentée par Yéq^iation du cercle.
(**) DuPiN, Développements de Géométrie, p. 212. Il résulte, de la dernière relation , que si im plan roule de manière à toucher constamment un ellipsoïde et une sphère concentriques , le lieu de ses points de contact avec l'ellipsoïde est une ligne de courbure co7istante. On peut consulter aussi le Mémoire intitulé : Recherches sur les surfaces gauches. — Académie de Belgique , 186(i.
Au moyen des équations (7'), (8'), on transforme ces formules en celles-ci :
abc ' ' * a-b-c^ ' d'où l'on conclut, en supposant R, > R^ :
valeurs remarquables par la simplicité.
Il en résulte, en particulier, que les équations des ombilics sont
u = V =^ b; OU
flî ^2
Xi = a^ — ; ^ , î/ = 0 , x^ = c* -^
a- — c- fl- — c-
VII. Dans un beau Mémoire de Joachimstal (*), l'équation générale des lignes géodésiques est mise sous la forme
IdXd-x -SXriX 1 dxd-x
IdXdx '^ IX' ~ Idx' " ' ^ ^
X, Y, Z étant les dérivées partielles de la fonction F (x,y,z) qui forme le premier membre de l'équation de la surface donnée. Dans le cas actuel,
[*) Journal de Crelle, tome XXVI.
Par suite, une intégrale première de l'équation (14) est
a' // C (f dx^ dy^ dz' ^ ''
g représentant une longueur arbitraire.
Au moyen des formules du paragraphe III, on transforme cette intégrale , soit en la relation
■pd)^ (16) ,
soit en celle-ci :
{\]'du^ — \Hv^) îi*v' = h' {IVn'du' — V'v'dv') (17) ,
dans laquelle
