IX. La combinaison des équations (10)' et (18) donne

u^ — liou

{u- — v^) Hiidu ds = — . /. = •

Le second membre est la même chose que

{jirdu Uuv-du

donc, en vertu de l'équation (18),

Vhi^du \v^dv

ds = ■

« Ici, « dit M. Liouville , «les variables sont séparées comme

(*) Voir, sur ce point, une Note de M. Liouville [Journal de Mathématiques , tome IX). La plupart des résultats auxquels nous venons de parvenir ont été démontrés déjà parce savant Géomètre ; mais il les a trouvés en considérant la ligne géodésique comme la trajectoire d'un point qui ne serait sollicité par aucune force accélératrice : nos méthodes sont donc essentiellement différentes.

dans l'équation même de la courbe ; on a donc cette formule très-remarquable » :

I {a'—u'){b'—ir)[c'—ir){ie—li') J \/{a'—v-'){b'—v'j{c'—v'){v'—h'')

+ const (21).

II en résulte que l'arc de la ligne géodésique s'exprime par la somme ou la différence de deux intégrales abéliennes.

X. D'après une remarque de Joaohimsial, le rayon de courbure d'une ligne géodésique est donné par la formule

dans laquelle m est une constante. A cause de p' = ^^-^ , cette formule équivaut à

(R, Ky

= const. {^2-2}

Si la ligne géodésique est une section principale, p = R , et

-r^ = const.

a* Au sommet C de la section principale AOG, R, = -^ ,

R, = — : la valeur de la constante est donc —-r ; et , par

conséquent,

JlL- ^ 1 (23)

R, aV* ^ ^

XI. Pour chaque valeur attribuée à la constante^, l'équation (15) représente une série de lignes géodésiques. Cherchons les trajectoires orthogonales de ces courbes (*).

En représentant , pour un instant , par dx, Sy, §z les différentielles relatives à la trajectoire, on a

dxdx + dy§y + dz§z = 0, — dx + rr dij -\- -- dz — ^ ; j V a- b- c^

d'où

dx dy dz

Idz-^rhj %§x--^§z ±dy-ldx h- c- ^ c- a^ a- -^ b-

Substituant dans (15), et rétablissant dx, dy , d% au lieu de dx, dy, dz, on trouve

l\TTd,z—~ dy

équation différentielle des trajectoires cherchées. La somme placée en numérateur est égale à

ds^ ixdx ydy zdz'^ ds^ p- \ (i^ b- c^ I p'^

(*)I1 est bon d'observer que, d'après une remarque de M. Michael Roberts, toutes ces lignes géodésiques sont tangentes à une même ligne de courbure. {Journal de Liouville , tome X). Couséquemment , les trajectoires orthogonales cherchées sont, pour ainsi dire, des développantes de la ligne de courbure.

De même,

= ^ 1 a^dx' — {xdx 4- ijdij + zdzY .

L'équation (i24) devient donc, par celte première réduction, 1 aHx^ — {xdx -+- ydij + zdzf = h^ds* (25).

Nous avons trouvé :

V a'dx' = {udu + vdv)' + (w' — t^*) [li'u'du'—X'v'dv'] ,

De plus, à cause de la relation (7),

xdx + ydy + zdz = — (udu + vdv).

Par suite, l'équation (25) devient

\]-u'dîr- — y-v'dv^ = h^ \\V-n-du^ — V*î^V/v^l , ou , ce qui est équivalent ,

\]u y n- — //■- du =: ±:Vv y v^ — h- dv (2G).

L'intégrale de celle-ci, c'est-à-dire l'équation des trajectoires , est donc

yl v^ — II'

(ADDIT10>-. — AOUT iSGl).

Xlî. Le dernier caleul peut être simplifié et généralisé. A cause de

[a- — V) udii + (ft- — u^) vdv dx = — a

dx — — a

\/{a^— b-) {a' — C-) {u^ — m=) [a^ — v') ' (a' — v^) mu + («^ — u^) vdv

\/(a2— ^')(ft-^ — c'){a'- — u'-)ia- — v') ' la condition

dx §x + dy dy + dz, oz = 0 équivaut à

\a^b'-C'-)\^Ç^U^dudu+UVidudv + dvdu)+ ^IH^ i-^^î;^)yl = 0

ou, par les transformations employées ci-dessus (III, 3"), à

\j-u^dudu = V-vUlvdv (28).

Il est facile de comprendre l'usage et l'utilité de cette relation générale : si l'on se donne l'équation différentielle

Udu = Ndv (29)

d'une série de courbes G, on en conclut immédiatement, pour leurs trajectoires orthogonales G, ,

XIII. 1° Si les courbes G sont les lignes géodésiques considérées dans le paragraphe VIII ,

Uu Yv

[/u'—k- Vv' — h''

et l'équation (30) devient

Vu\^u'-—ir-§u = ± VvVh^-v- ov :

celle-ci ne diffère pas de la relation (26).

2" Si les courbes C sont définies par w- + v- — const, ou par uv = const. (V) , on a , dans le premier cas ,

et , dans le second ,

L'équation différentielle des trajectoires Ci est donc, soit

\]'u§H + \H'dv=0 (31),

soit

UHi'du -f Y'v'^èv = 0 (32).

Dans chacune de celles-ci, les variables sont séparées, et l'intégration est facile.

3" Supposons que les courbes C constituent un système de sections circulaires de l'ellipsoïde. L'équation dilTérentielle de ces courbes est, comme l'on sait.

le radical pouvant être pris avec un signe quelconque. Mais , par les formules (6),

c * a-—b^ {c2~i")udu-h{c^- — m)vdv ^ /{g- —u')ia- —v^)

dx a^ b'^ — c' {a''~-v^)udii + {(i°'—u^')vdv V {c- — u-){c-—v-)'

conséquemment , l'équation différentielle des sections circulaires , rapportées aux coordonnées m , v , est

{c^ — v'')udn + {c- —u-)vdv __ [a" — v") ndu -+- (a" — u^) vdv

ou, plus simplement,

ic d H V d V

1/ ia' — II') {c' — II-) V {a' — V) (c- - V')

Par suite, l'équation (30) devient :

M' eu V' âv

(/r - II') V {a- - u') {n' — r) ~ " {If ~ o') \/ {a* — v') {v* — c*) ^^^^'