LXIII. — AIUE d'une surface DU QUATRIÈME DEGRÉ

I. Cette surface , bien connue , est engendrée par une droite D, de longueur donnée, dont les extrémités glissent sur deux droites fixes A, B , non situées dans un même plan , et, pour plus de simplicité, supposées perpendiculaires entre elles.

En appelant 2c la longueur de la commune perpendiculaire aux directrices , et 7 l'angle constant formé par les directions de cette droite et de la génératrice, on trouve aisément que l'équation de la surface est réductible à la forme

{c + zf {c-zy Quant à la génératrice , elle peut être représentée par

a; = (c + :r) tgycoso, ?/ = (c— 5)tgy sinç, (2)

9 étant l'angle de A avec la projection de D sur le plan xij. Les angles « , /3 , que fait D avec les axes des x et des y , sont déterminés par les formules

cosa = sinycosç, cos [3 = — siny sin tp. (3)

II. Lorsque la génératrice se déplace, un point M de cette ligne décrit nn petit arc d'ellipse : la longueur et les projections de cet arc vérifient les relations

ds* = dx* + dif , dx=—(c-i-z)\g y sintp rfcp, rfy=(c — z)tgy cosç rf<p.

V étant l'angle de ds avec D , on a

-, dx dii -3 sin'y . . rfo

cos V = -7- cos a 4- T^ cos iS = — c — - sin ^(o-r- (5)

ds ds cos y ^ ds

Si l'on prend sur D , à partir du point M , une distance infiniment petite MRî' = do — ~7> le parallélogramme qui a

pour côtés ds et da peut être considéré comme l'élément de la surface. L'aire de ce parallélogramme est

rfA = rfsrfasinV.

Mais, par les formules (3), (4), (5) :

donc

siny , , , ,, —

dA --= — ^dfdz ^'(î;— ccos2(p)'+c*cos'ysin*29 »

puis

^ f/'f / dz l/(s — ccos2cp)*4-c-cos*7sin=2cpn. (6)

cos'v