III. En général

/ du \^ïF+âF "= ^u VW + rt' + ^ a* 1 (if + '/2{* + tt*) -I- const ; donc , R étant le radical qui entre dans la formule (6) , / Rrfz= -(z— ccos2(p)R+-c'cos*ysin'2!pl r— ccos2p+R +co?i.$/;

(*) On ne considère ici que la partie de la surface limitée par le plan zr , le plan 31J et les directrices.

/ Rrfî=!2c- siiP(pt/l— sin*ycos*94-cos'!pj/l— sin'ysin*©

1 , ... i(sincp + |'^l — siir 7C0S^©)sincp + -- c- cos- y siii^ 2 cp 1 î^ i ' — ^ '-

(— cûstp+î/l— sin'ysin^cp)cos<p Au moyen de cette valeur et de l'identité

sin(p+ J/i — siu'ycos^cp — cos!p+ [/ 1— siiry sin'cp

(sinŒ)4- j/j— sin^ y cos' (p ) (cosy + V 1— siiï- y siu'y ) sin° cp COS" y

la formule (6) devient

c^siny

çdîp\/l— sin'ycos-cp+ I cos'tprf^ l^ 1— sin*y sin^cp

-cos' y! I sin'Sçd^

9 1 (sin 9 4- l-" 1 — siir y cos' tp ) ^

sin* 2 ycfo ] (cos tp -+- i^l — sin* y sin* ç)

— 2 # sin' 2 tp.rf(p i (sin^)) — 21 (cosy) | sin-2(pc^(p j"

IV. Les quatre premières intégrales sont égales deux à deux (*) ; donc :

c'smy /

cos'^rfipi/ 1 — sin'ysin*©

/ I sin

+ cos* y / sin*2cpd(pl(cosa3-f-Kl— sin'ysin*!}/)

— cos*y / sin*29d!pl(sin9)— cos* y l(cosy) / sin*2(pd^;

A= -^^^^r^M + Ncos'yl — c'sinyrP + Ql(cosy)l; (9)

en supposant :

(*) Il est visible que la bissectrice de l'angle xOij est un axe de symétrie de la surface. Nous aurions donc pu , au lieu de la formule (6), en prendre une autre,

dans laquelle les limites seraient 0 et -, 0 et c. Mais cette simplification est plus

apparente que réelle.

M = / cos'(pû!(p 1^1 — siri-ysiii'cp ,

N = / " sia* "2 cprf^p 1 ( oos cp + i/ 1 — sin* y siiP cp)

(10) P= I sin*2(pû!!pl(sin'p) ,

2(prf(p

La question proposée se réduit donc à la détermination de ces quatre intégrales.

Q = i / ' (l-cosi9)rfcp= ^. (11)

2" Pour calculer M , posons

u sm cp =

siny il résulte , de cette transformation ,

du . i «

COS Çrf© = -. — - , COS- © = 1 — ;—

T T smy ' sia*y

puis

du\/\—u' A- I n'duy'l—u*.

SI 11' y I

Or:

I du \/\—u*=-u y \ — u- +-avc&imi,

u*du\/ i—u^ = — 7(1 — «*)' w +- / du yi—u'

= — - (1 — w')"ît +-.M I/l — M*4-- arc sinw;

donc

duV \ — u- = - (siny cos y + y),

duV\—u-— iT ( 1 ~2ros*y)siny cosy +y 1;

et, après quelques réductions,

M = ■ ^^ f(2 — CO.s!2y)sin2y + 2y (1— 2cos2y) . (12)

P"- / ~I(sine.)f/'v — - / ~ cos-i (j:. 1 (sinG/)rf^.

On sait que

l(sin(p)rf^=: -^12 0.

De plus , à cause de xlx = 0 pour x — 0,

sin

Par suite ,