VI. La détermination de l'intégrale
N = / sin*2(prfcpl(cos<p + j/l — sin'ysiii'ip) présente d'assez grandes difficultés. Pour essayer de les
(*j Bierens de Hnan,T. 330. — L'entête de cette table contient une faute typographique; an lieu de : Li/n. 0 et - , on doit lire : Lini. 0 et-.
lever, je considère d'abord les cas particuliers de 7 = 0 et
de 7 = •^ ; savoir
No = 1 sin*2
N. = I sin»
(prf©l(l + COS(p) ,
in* 2<prf9l(2cos(p)
N. = vl I sin*2cpd(p+ / sm*2a
od^p 1 (cos cp).
La première intégrale égale Q = — \ la seconde ne change
pas quand on y remplace ? par -^ — (f ; c'est-à-dire qu'elle est égale à P. Conséquemraent ,
2° La comparaison des intégrales N, et P conduit à
/2 il,
sni- 2 ^p 1 . tg — ^ao
Remplaçant sin^ Sç par ^^-^, puis intégrant par parlies, on trouve aisément, au lieu du second membre ,
.i d(û sniç '
La première intégrale a pour valeur le double de la eonstante G (*); l'autre est égale ù- . Conséquemment,
OU
No-= ^(i-4i2) + G-l. n
Vil. Remarquons maintenant que la dérivée de N , relative au paramètre y , est
—, — = — siii y cos y dy ' '
sin^S^ sin^cfrff
ostp + l 1— sin^ysin-cp) y \ — sin'ysin^ç
. - — coscû +j/l— sin-7Siii'9 . ^ , — tgy / ' . ' ^— sin* 2 (prfg/ .
y \ — sin-ysin^cp
OU
2 sin'2cpcos(prf9 l/l— siii-y sin*(p
Pour calculer l'intégrale
2 sin» 2çi costp d(^ 1^1 — sin-ysin=(p
(*) Bierens de Haan, T. 239. Voyez aussi la Note LIV.
(**) Un calcul direct, beaucoup plus long que celui-ci , conduit au ménie résultat.
je pose, comme ci-dessus,
smcp =-: — siny
Cette transformation donne
sin'y /
ny
(si n'y— 7i^)u*dîi
OU
/sin-/ du
4cos*y / du icos-y .' ^ , /-. ,
SI n'y / \/i__n,t SI n'y
+ -^-— / U*dU l/l— M';
OU , d'après ce qui précède,
S=^r-?V-0--iCOS*y) + -^?^(4-+-2cos'y). (18)
2sm'y ' 2sin*y '
Substituant dans la formule (16), on trouve
f/N y in
-r- = ^ ■ / (1 ~ 4cos*y 4- • ■ , (1 + 2 COS' -A - - tg y ;
rfy 2sin*ycosy ' 2sin'y ' 4-*'''
et , par conséquent ,
N = N. + : / "Vi£2£yht^S(Lti^',, + |l (,.os,,. ,«,
L'intégrale indéfinie se décompose en
On peut vérifier que
dy \ 1, 1 + siny 1
siii*'/cosy 3sin''/ 2 1 — siny siiiy
D'ailleurs
cosydy 1
sin^y Ssin'y
On a donc , en intégrant par parties ,
^'^)=s7^,-i-/'(i^)-i^-/^-i/'-/iîêi:i-'(4
ou, à cause de
siify 2 \^2'/ Ssin^y
F(y) = Z + lyl(l±!illZ.U 2: £osy l j J\ + sïny
ou
Y (v) = "'sy(ycosy-sinyi ^ / ydri^ ' sur y / rosy
La fraction en dehors du signe / se réduit à — -^ pour •/= 0 ; conséquemment
/y(l— {cos'y)4-sitr/co?;y(l+!2cos'-/) 1 0087(7005'/— sin-/) / .siii'7cos7 ^3"^ si 0=7 "^ /
puis, parla substitution dans la formule (19),
,, „ 1 COS7(7COsy — siny) r,
N = No + ^ + '^\ .\ (1 + - 1 (cosv)
6 2snP7 4 ''
ydy
cos 7
1 r ydy
