COS- V

■ dv

vdv sin V

D'ailleurs

3 ■ 1 2 sin ~ V

cos- i

P"— ^iHf)-^>[-(M)]

= 2l(cos|+ sin|j; donc la formule (20) devient

■1 cos7(vcosv — siny) ;:,/ y . y\ 1 N = No + -4- — r^^ / £i+ 1 cosi.-^sm^--b 2 sin' y 2 12 2/2

vdv sinw'

OU plus simplement, et à cause de la valeur de No :

^ ,. , 1 ^^ COS y (y COS V— siny) - i / '/ . ■ y\ N = - (1 - i 1 2) + ^^,^,,^. ^ + j 1 (cos | + 5,n l]

sini'

ou enfin

7^ t: 1 M +siny\ cosy (ycosy— siny) ^ ' " 16 4 \ 2 / 2sin'y i

vdv sin ?.'

On voit ainsi que la fonction désignée par N se compose d'une somme de quantités données, augmentée de la moitié d'une intégrale de forme très-simple, mais dont la valeur n'est pas connue généralement. Le problème que nous nous étions proposé de résoudre se réduit donc, en dernière analyse, à la recherche de cette même intégrale.

IX. Reprenons les formules (9), (11), (l!2), (13) et (21) : '^ " 7^ [^ ^^ '^ '^^^'' y] " ^* ^"' y [P + C» 1 (cos y)] ,

M= j^rip-[(2-cos2'/)sin!2y + !2y(l-!2cos25/)J,

7r 7T T [\ +siiiy\ cosy(ycosy— siny) 16 ■*" 4 \ 2 j "^ 2lïïF^;

suif

P = ii-(t-il2). Q=^.

La substitution des valeurs de M et de N donne d'abord, au moyen de quelques réductions ,

4M + N cos' y = - cos y + -~4 — (3 sin' v + 2 cos' v) ' 2 ' 2 sni y '

^ ........... ,1 +siny

ïcos'v[t+,a

sni V

De plus ,

P + ûl(cosy) ^^-^\IJ- 16 4 \cosy

Conséqiierament

A 3 y , .^ r: . 1 l\ + sin -A