tclv I

+ -cos-y / -. — .

(*) Cette formule semble en défaut lorsque y — -. Mais dans ce cas, l'intégrale relative à z doit être décomposée ainsi :

(cos 2 y — z] dz -{- I iz — CQs2 9)dz; parce que , dans le premier membre de (23) , le radical est supposé positif.

LXIV. — TRAJECTOIRES ORTHOGONALES DES SECTIONS CIRCULAIRES d'uN ELLIPSOÏDE (novembre 1865) (*).

I. Soit un ellipsoïde OABG (**) ayant pour centre le point 0, et dans lequel les demi-axes , rangés par ordre de grandeur décroissante, soient OA = a, OB = b, OC = c. Si, dans le plan de la section principale GA, nous prenons un rayon vecteur OE = OB = &, le plan BOE coupera l'ellipsoïde suivant un cercle ; et il en sera de même pour tous les plans parallèles à celui-là. Les limites de ces cercles, c'est-à-dire les points I, r où l'ellipsoïde est touché par deux plans parallèles à BOE, sont des ombilics de la surface.

Cela posé , si nous rapportons l'ellipsoïde aux droites OE, OB et à une perpendiculaire 0^ au plan BOE, la projection P du contour apparent de la surface pourra être représentée par

II. Les sections circulaires parallèles à BOE, ou les lignes rfe w/î;eflw de l'ellipsoïde , se projettent, en vraie grandeur, suivant des circonférences doublement tangentes à l'ellipse P, et dont les centres sont situés sur Ox.

(*) Rédaction nouvelle d'une Note publiée dans le Journal de Mathématiques (tome XII).

(**) Le lecteur est prié de faire les figures.

(*' * ) Il est évident que ç — b. De plus , un calcul fort simple donne

On trouve aisément que l'équation de ces circonférences est

{X - cf.Y + if --= ff- ï\ - ^,

en supposant

Par conséquent , les trajectoires orthogonales des sections circulaires de VeUipsoide, ou les lignes de plus grande pente de cette surface, ont pour projections, sur le plan xQy, les trajectoires orthogonales des circonférences dont il s'agit.

IIÎ. Le calcul ordinaire conduit à

{p'-ydx — q'-xdyy = r- {}f-q' — ff ~ ifxr) dy'- , (3)

équation différentielle des trajectoires (**).

(*) La discussion de l'équation (2\ donne lieu aux remarques suivantes :

r- 1" Si X est compris entre 0 et - , la circonférence touche en effet l'ellipse en P deux points symétriquement placés relativement à Taxe des abscisses ;

2° Lorsque a = — , la circonférence devient osculatrice à l'ellipse : son rayon P

3° Si K est compris entre — et r. la circonférence est intérieure à l'ellipse ; P mais, au point de vue algébriqi'e , ces deux courbes sont doublem.ent tangentes l'une à l'autre ;

4'^ Enfin, lorsque a = rt r , l'équation (2) représente les foyers de l'ellipse : ces points sont les projections des ombilics V , I {Journal de Mathématiques. tome XII , p. 486).

(**) Elle ne diffère, que par la notation, de celle qui se trouve dans la Note citée (Joi'.rnal de Mathéniatiaves . tome XII . p. 484, éq. (2)).

Avant (le chercher à l'intégrer, on peut reconnaître, soit par le calcul, soit graphiquement, que chacune des courbes représentée par cette équation (3) :

1° Passe par les deux foyers ; ^2° présente un rebroussement au point où elle coupe V ellipse.

Conséquemment : 4° les trajectoires orthogonales des sections circulaires de Vellipsoide , parallèles au plan BOE , passent toutes par les ombilics I, T; 2" au point d'intersection P d\ine de ces courbes avec le contour apparent de l'ellipsoïde , relatif au plan BOE , la tangente PS est perpendiculaire à ce même plan (*).