V. D'après les formules

dij cos^cosQrfQ — sinipsiiîGrfQ

dx~ r cos (fd(f — q sin © cos 6 rftp — (/ cos (p sin G fi^ '

en sorte que l'équation (5) devient , après quelques réductions ,

' r sin 9

L'intégrale de celle-ci est

? = ^latgi9); (8)

A étant la constante arbitraire (*).

VI. Le point m , considéré tout-à-l'heure , est l'intersection de Ja circonférence c?n avec une circonférence c'm , doublement tangente à l'ellipse E. En appelant 9', G' les quantités analogues à 9 et 6, relatives à cette seconde circonférence, on aurait

X = r sin 9' + q cos 9' cos G' , y = q cos 9' sin 9';

(*) On peut comparer cette équation des trajectoires orthogonales avec celle que nous avons trouvée ci-dessus (p. 272.

donc, pour le point m :

Costp'sinG' =coscpsinG, 7'sin^^' + //cos^'cosG'= rsiiis+ r/cos(pcos0.

On tire de ces équations, par un calcul que nous supprimons ,

tgG' = tsG l-G' - fcos^^niB (ç,.

De ces deux formules, la première équivaut à '^' = ^; la seconde, comparée à l'équation (6), donne

dx

dx ^

' r smQ'

et, par suite,

(P' = i 1 (À' tg } G':

Cette intégrale ne différant de l'équation (8) que par la notation, il en résulte que le système des formules (4) et (8) peut être regardé comme étant V intégrale générale de V équation (3), Autrement dit, cette équation (3), du premier ordre et du second degré, représente seulement les trajectoires orthogonales qu'il s'agissait de trouver.