LXV. — SUR LES SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE

(MAT 1867)r).

I. On sait qu'en représentant par «, è les cosinus des angles formés par la normale avec les axes des x et des y , on peut mettre l'équalion des lignes de courbure sous ia forme

da : dx — db : dy , OU plutôt sous celle-ci ;

fda . da , \ . l db , db , \ . ,.,

D'un autre côté , dans un Mémoire (**) sur les surfaces dont il s'agit, j'ai prouvé que leur équation est, si l'on veut.

da db dx dy '

Il résulte , de celle-ci ,

rfffl , d(L

dy dx

a, étant une certaine fonction de x et de y. Soit z^ cette fonction; soient p^ , q^ , r^ , 5, , t^ les dérivées parlielles de z^ : d'après les formules (3) :

da da dh db

dx dy dx dy

(*) La présente Note est , en grande partie , rédigée depuis plus d'un an ; j'en ai indiqué les résultats diuis mon cours à l'Université de Liège.

["'} Journal de l'Ecole Polytechnique , 37« caiiier, p. 130.

— 29'i — puis, au lieu de l'équation (1),

r, dx- -h 2 s, dx dy ■+- 1, dif = 0. (4)

Soient S la surface à courbure moyenne nulle, S^ la surface qui a pour équation z^ = (^ {x, y). En observant que l'équation (4), transformée de (i), appartient aux lignes asij?nptotiques de S, , on a ce théorème:

Les lignes de courbure de la surface S , et les lignes asijmptotiques de la surface S^, ont mêmes projections sur le plan des xy.

II. Si la surface S est connue, et qu'elle ait pour équation % = f{x,'ij), on aura

dZi = p^dx -h q4y = — M-x 4- ady , OU

dz, = ^ ^dx- ^ #(*), (5)

puis

dx-Y. (6)

Pour déterminer Y, on a la relation

\y\+p' + g' dY

(*) 11 est plus simple de prendre

z^ — — I Mx + / arhj + / d)/ 1 — d.i

D'ailleurs

\/îTWT^u-r 'P'^'"

\^l+ir+q- yi-\-p- + ci- {\+p-)t—pqs

donc

P ^ j {\+f)t-vqs

A cause de

(1 -hp*)t — 'ipqs + (1 + q'-) r = 0, '

dy. (7)

on vérifie aisément que le second membre de l'équation (7) est indépendant de a^ ; ce qui doit être.