III. Soit, par exemple

3 = 1 cos y — 1 COS X ; d'où

p^tgx , q-=—\gy, r= — — , s = 0, t =

cos-x cos^y

L'équation (7) devient

rfY / cosrccosy , siiKTCosw

rf7 = ~/ — : : ^^-^^

/ (cos- y -{-cos-x sut yY

cos^y + cos-^siir?/ ou , si l'on fait sin ^ = x

dM / dl Icosy

—— = — cos y dy ^

r dl

/ (1 — /r&hryy-

1 — À'sin-;/

L'iiUégralc a pour valeur

donc

-— = 0 , \ = const.

dy

Si, pour plus de simplicité, on suppose celte constante nulle , on trouve, par l'équation (6) ,

siu 5, = — sin X sin y. (9)

Telle est l'équation de la surface S, , en supposant que la surface S soit représentée par

s = Icosy — 1 cosa;.

IV. L'équation des lignes de courbure de la surface S. est, en général,

dx + p^dz, dy-\-(}^dz,

dp, dq, '

ou

dx — b {ady — bdx) dy + a (cidy — bdx)

Tb ^ "^ là '

ou

i+b')dx—abdy

d. — — ^— -+ ( 1 +a-)dy -a bdx U- ^ =0.

. \/\+p-+(r L J y^+p'-bq-

Si l'on effectue les différentiations indiquées, et que l'on remplace a, b par leurs valeurs, on trouve, au lieu de cette équation ,

j (i + -2 (f )r — -1 pqs dx'

+ 2 [(1 + /^' + ^'j s — pq ir + t}\ dvdy

-f Ui + ^2f)t~^pqs]dif = 0n. (10)

L'équation des lignes asymptotiques de la surface S étant

rdx- + 2 sdxdy + idif =^ 0, (11)

ces courbes auront mêmes projections que les lignes de courbure de S, , si l'on a

qips-qr) ^ p {ps - qr) + q{qs — pt) ^ p {qs — pt) ^ À /.^x r —2s t i' ^ '

Il résulte, de ces proportions ,

pqs pqs psA qsA ,^,-.

r = ; . ' t = : ^ ' ps—qr=^~^ — r' qs—pt=-i — r-; (18)

et, en supposant 5 différent de zéro (**):

( * i On arrive plus siraplemeul à cetîe équation en partant de celle-ci

Ida, da, \ (db, db, \

— don H i dy ]di/=\—^ dx H ' dv\dx,

\dx dy j \d.x dij \

et en observant que

(**j Je laisse de côté le cas où l'on aurait , simultanémeni : qv = -ps , pi = qs :

la surface S est alors un cylindre.

Les racines de cette équation sont