V. l^ La première valeur donne

c'est-à-dire

dp dq ^ dp du dx dx dij dij

d'où

Cette équation exprime que toutes les normales à la surface S sont également inclinées sur Taxe des z. Cette même équation a la forme F (/j , ^) = 0; donc la surface S est développable. En combinant ces deux propriétés , on conclut que la surface S est V enveloppe d'un plan qui fait un angle constant avec le plan des xy; elle ne diffère donc pas de la surface à pente constante (*).

D'après un théorème dont j'ai donné autrefois la démonstration (**), cette surface réglée ne saurait être à courbure moyenne nulle. Par conséquent, la première racine de l'équation (14) ne répond pas au problème. Dans le paragraphe XII, je reviendrai sur cette circonstance.

2° Si l'on prend ).= >= — - {p" + q^) , on trouve

1*1 Monge, Application de l'Analyse à la Géométrie, § VIII; La Gournerie , Traité de Géométrie descriptive.

{'*) Journal de Mathématiques, tome VII.

La prem ière équation équivaut à

..dp , dq ^ ' dx dx

Pour intégrer, je suppose p = a(]f : il vient

et, conséquemment.

dp

dx

2a. — dx

pY,

Y étant une fonction de y.

La seconde équation (17) donnerait, pareillement ,

jf- + q'- = q\ ;

donc

Si l'on a égard à la condition

dp dq

dy ~ dx'

et si l'on opère un déplacement d'origine, on trouve enfin, pour l'équation de la surface S ,

- = arctg-, (19)

g étant une constante arbitraire : la surface S est donc un héliçoïde à plan directeur. Cherchons la surface S, correspondante.