X- -+- y- du

~dz, = g — • - = g

en supposant

Intégrant , et déterminant la constante de manière que z^ = 0 pour M = 0, on trouve

Cette équation appartient à une surface de révolutions, : la section méridienne, représentée par

a une liaison remarquable avec la chaînette dont l'équation serait

x = l\e' -re''\-

ces deux coui'bcs ont pour diamètre asymptolique la !ogarillnnique représenléc par

X^ rC

Vli. La surface de révolution S, est donc telle, que ses lignes de courbure se projettent, sur le plan xy , suivant des circonférences et des rayons, projections des lignes asymplotiques de l'héliçoïde S. Cette propriété subsisterait pour toute autre surface de révolution autour de 0^^. Mais il y a plus : les lignes asymptotiques de S, , et les lignes de courbure de S , ont mêmes proiections sur le ylan des xy; en sorte que les surfaces S, S, sont conjuguées.

Pour vérifier directement ce dernier point, j'observe qu'en vertu de l'équation (i20) :

puis

jr{u-+gi~x'{^u-+g'-) i ,~~ g ,

u^{u--hgy , (^u°-+g-]xy

.Si g ^

u-iu'+g')^

u\ir+g°-)—2fi±r-^g') li g .

n'{ir-hgy L'équation des lignes asymptotiques de S, est donc

{li'—'iiex'+g'y"-) iix'—^2{'2ir+g^}xg dxdij+{u' — 2iry'--\-g'x')dy'-= 0. (22) On peut l'écrire ainsi :

u^{dx--i- dy-] — 2u' [xdx + ydyf -\- g- [ydx— xdyf = 0.

Mais, si l'on prend des coordonnées polaires, on a

dx' + dy- — dit- -r U'dfjy , xdx ->- ydy = uda , ydx — xdy = — irdoi ;

d'où l'on conclut,

rfco=±— ^?^- (23)

Vg- + w*-

Or, cette équation (23) appartient aux lignes de courbure de rhéliçoïde(*).

VIII. Le résultat auquel nous venons de parvenir nous paraît d'autant plus remarquable que, par une autre voie, on peut trouver une seconde surface conjuguée de Vhéiiçoïde ; savoir , le caténoïde représenté par

IX. On peut se demander dans quel cas la surface S, estelle, comme la surface S, à courbure moyenne nulle? Pour qu'il en soit ainsi , s, = © (a;, ?/) doit être une intégrale de

dx dij '

OU de

dx dy

En développant, on trouve

p pr + qs^ q ps + qt

Ainsi, la surface S , qui satisfait à l'équation

(1 + //) t — 2 pqs + (1 + q') /' - 0 ,

( *) Journal de l'École pobjtcchnique , 29e Cahier , p. 113.

doit salislaire encore à réqualioii (25). L'intégrale première de celle-ci est

^ étant une fonction arbitraire. Cette équation (26) exprime que , pour tous les points appartenant à une ligne de niveau , rinclinaison de la normale à la surface, sur le plan de cette ligne, est constante. De là résulte que toutes ces courbes sont équidistantes et qu'elles se projettent, sur le plan des œy , suivant des, courbes parallèles à une première ligne donnée.

La surface ^ , représentée par l'équation (26) , peut être engendrée par une ligne plane G , dont un point M décrit une ligne plane Ti , pendant que les deux plans restent perpendiculaires entre eux. Si la directrice D est une ellipse, les lignes de niveau sont des toroïdes, etc.

X. soit (3 = F (a) l'équation de la directrice D, que nous supposerons située dans le plan des xy. Une parallèle à cette courbe a pour équation :

Dans le cas actuel , le rayon p est une fonction de % ; donc l'intégrale seconde de l'équation (25) , ou l'intégrale première de l'équation (26), est représentée par le système des deux équations

dans laquelle /' et F sont des fonctions arbitraires. Dans chaque exemple particulier, l'élimination de ='• donnera l'équation du ne surface 1 à lignes de niveau équidistantes, et ayant une directrice donnée.

XL La surface " jouit des propriétés suivantes : 1° Les lignes de plus (jrande pente , toutes égales entre elles , sont situées dans des plans verticaux ; 2" ce sont des lignes de courbure; 3° les courbes de niveau sont des lignes de courbure (*); 4" si Von considère la courbe G suivant laquelle la surface touche le cylindre vertical , enveloppe des plans qui contiennent les lignes de plus grande pente , cette courbe G est une développée de la surface ^. G'est-à-dire que si le cylindre se déroule, G engendre 1, etc.

XÎL La surface li dont nous venons de nous occuper n'est pas, en général, à courbure moyenne nulle :pour qu'elle le soit, la directrice D et la génératrice doivent satisfaire à certaines conditions.

Afin de les découvrir, remarquons d'abord que , le plan de la ligne de courbure G contenant la normale à la surface, cette ligne G est une section principale. De plus , en tous les points d'une même ligne de niveau , le rayon R, de cette première section principale a une valeur constante. A cause de

le rayon R^ de la seconde section principale doit aussi être constant. D'après le Théorème de Mcusnier , joint à la définition de la surface, R, est égal au rayon p de la ligne de niveau , divisé par le cosinus d'un angle constant. Donc p = const. : les lignes de niveau sont des circonférences. De plus, elles doivent être équidistantes (IX); et cette propriété caractérise une surface de révolution. En résumé, la surface S est un catcnoïde.

{*) Eu effet, ces courbes sont des irujerUMres orthogonales lies lignes de plus ;rande pente.