LXVI. ~ SLR LA PARTITION DES NOMBRES (OCTOBRE

PROBLÈME. — De combien de manières peut-on former une somme n, avec q nombres entiers , égaux ou inégaux?

I. Désignons par N^ (**) le nombre cherché, et considérons l'équation

En supposant que les valeurs des inconnues soient rangées par ordre de grandeur non décroissante , nous pourrons attribuer à x^ , successivement, les a valeurs entières :

a représentant le plus grand nombre entier contenu dans — ; de sorte que

Soit, en particulier, x^ = a : les valeurs dex,,x,, . ..x ne pouvant être inférieures à a, nous ferons

x., = y.,-hu — l, x^ = y^ + a— i, . . . X = y -i- a— l; et nous aurons ainsi , au lieu de (1) , a équations de la forme

( *) Cette Note peut être considérée comme faisant suite à celle de la page 62. (**) Dans la Note citée, N^ était remplacé par [n, q].

(***) Comme nous l'avons déjà dit , la notation (-] équivaut à celle-ci : E (-] , adoptée par Legendre.

dans lesquelles les q — 1 inconnues pourront recevoir les valeurs 1, 2, 3 Le nombre des solutions de l'équation (3)

étant N , , „ , , il s'ensuit

n— 1 — (a— Ijî, 7— I

ou

n,(] n— 1,7— 1 n— I — 77— 1 „—l—lq.q—\ 71 — 1 — (a — 1)7, 7 — 1 V / \"/

IL Le nombre des termes du second membre, dans l'équation (5) , est a. Si ^ = 2 , chacun de ces termes se réduit à i ; donc N^^ , = a , ou

relation évidente.

IIL Si ^ = 3, l'équation (5) devient

OU, d'après la formule (6) ,

Par exemple ,

v = (VV(f)-(v)-(|-(|-(l)

à cause de a = ^j = 6-

(*) Cette relation générale résulte, immédiatement, de celle qui constitue le Théorème II (p. 62).

En , effet , les décompositions du nombre 19 sont :

1+4+li,

IV. Pour obtenir le second membre de l'équation (8), on doit considérer les diverses formes du nombre n, relatives au diviseur 6. On trouve ainsi, sans difficulté :

Pour n = 6»',

V. Remarque. — Au lieu de ce système de formules , on peut prendre celui-ci :

tv

il en résulte ce théorème curieux , proposé par M. Vachette!*) :

Parmi les quatre nombres ii-, n^ — 1 , n- — 4, n' + 3, il en est un divisible par ï^ : le quotient égale le nombre des manières différentes de partager n en trois parties entières , positives , égales ou inégales.

VI. Quand q surpasse 3 , il paraît difficile d'exprimer le nombre des solutions de l'équation (1), au moyen d'une formule qui ne soit pas illusoire, et l'on est réduit à faire usage, une ou plusieurs fois, de la relation (5). Soit, par exemple, îi = 39 , ^ = 4 ; d'où ^ = 9. Cette relation devient

N =N +N 4-N 4-N 4- N +N +N -f-N +N . Mais , par les formules (10) :

Jb,3 12

N = — = 27 iV. 12 '

Nn,3=^-Î2~^^^'