TÔ
(*) Nouvelles Annales de Mathématiques, octobre 1867.
— 309 ~ donc
N., , - 120 + 96 + 75 + 36 + 40 + 27 4- 16 + 8 + 3 ^ Ul ,
résultat conforme à celui que donne Euler (*).
Viî. Si, comme l'a fait ce grand Géomètre, on veut construire une table des valeurs de la fonction N , on peut, au
lieu de la relation (5), appliquer avec avantage le Théorème II de la Note XXII, lequel équivaut à l'équation
ou à celle-ci :
Au moyen de cette relation, et des valeurs initiales : N=l, N ,,=4, N =1,
on forme aisément la table suivante, qui contient les valeurs deN
(*) Introdtiction à l'Analyse ivfiiiitésimale , tome I, p. 2.^2.
^ aleurs de /;. ]
Valeurs de q.
IIG 146 18g'
77|l00'l33Jl72J224
D'après la formule (12) :
Un terme quelconque de la troisième ligne horizontale est égal à celui qui le précède de trois rangs, augmenté de celui qui est écrit au-dessus ;
Un terme quelconque de la quatrième ligne horizontale est égal à celui qui le précède de quatre rangs, augmenté de celui qui est écrit au-dessus ;
Etc.
VIII. De la relation (11), on peut déduire très-facilement la fonction génératrice de N . En effet , soient
Multipliant la première égalité par i ~ x\ la seconde par X, on trouve deux développements qui doivent être identiques ; donc
F{x,q)= iL^F{.i',^/-1).
Et comme
i—x ' la fonction srénératrice cherchée est
IX. Le second membre de la dernière équation est égal au produit des séries
n+l 2iJ + l So+l i 7.40+1
(') Ce théorème est dû à Euler , aussi bien que tous ceux que nous avons donnés dans la Note XXII.
L'exposant de x , dans ce produit , étant la somme des exposants de x dans les facteurs de chacun des produits partiels , on a ce théorème remarquable (*) :
// y autant de manières de décomposer un nombre n en q parties entières, égales ouinégales, qu'il y en a de décomposer ce même nombre en q parties appartenant, respectivement, aux progressions
1,(^ + 1), (2v+1), (3r/ + 1), (.ir/ + 1),. . .
Par exemple, nous avons trouvé que le nombre 19 admet 30 décompositions en 3 parties. Or ce nombre 19 admet aussi les décompositions suivantes :
et celles-ci sont également au nombre de 30.
(*) Il a été donné , sous une antre forme, par Enler {IntrodKction à f Analyse, 1. I, p. 244.)
LXVII. — sur. LES NOMBRES DE BERNOULLl ET d'eULER (MARS 1867) (*).
I. Dans une Note sur le calcul des Nombres de Bernoulli {**), j'ai démontré :
1° Que si l'on suppose
on a
rt: 1^ P, = ± 1 C") ; (2)
2" Que /es wo??^&/•^s P|, P.j, P,, . . . , dont dépendent les Nombres de Bernoulli B^, B , sont entiers impairs (****).
D'ailleurs (*****)
tgx = A{A-\)-^ x~ V {r-i)j--f^^x^ + . . .
(') Ce travail , qui vient de paraître dans les Mémoires de l'Académie de Belgique, complète mes précédentes recherches sur les Nombres de Bernoulli (p. 110 et suiv.).
nip. 127).
('**) On doit prendre les signes supérieurs lorsque q est impair. ("**) Postérieurement à la puliHcation de celte Note XXXVI , j'ai appris qu'Euler s'est occupé des nombres P.
("*") ip. 127).
donc
ou
II. A cause de P, = I , on trouve, en prenant les dérivées des deux membres :
Par conséquent ,
ou
Dans le second membre , le coefficient de x' ' est
P.V, ^. P^V3 . , ViP'
1(3)1(2^ + 1) r(5)r(2</-i) ' • ■ ' '^ r(2</-+-i)r(3)' donc
p ^^r£12^±!L p p 4--i^i^^^±^L pp ^
29+1 2(2(/+i)Lr(3)'r(2(/+i) ' =ï-> r(5)r(2</-i) ' -'«-^
- 3lb OU , plus simplement ,
p =.i±irp +ii(!iiiiipp ]
