VII. Dans la relation (A), supposons

■Ht ,

elle devient

-^ 7^-^ z tzdz= .

La fraction

(1 ~z){i + lz-i-Az') 2^4-1

= 1 — Az+ à

(*) Cette intégrale remarquable a été déterminée par Euler (Bierens de Haan t. 152). On voit qu'elle résulte de la formule (A).

Par suite , la formule (15) se réduit à

ce qui est exact (*).

VIII. Plus cfénéralement, soit .i; = -, n étant un nombre entier. Si l'on fait

on transforme la relation (A) en celle-ci

La fraction

de plus donc

1 l ^ 1 ^î l J ^"~' 11' Il

*) Bierens , t, 153.

— ■■vn

Cette formule , qui en donne une intinitc d'autres , n'est

encore qu'un cas particulier : en remplaçant, dans (A),e"

parr7=r, on trouve la relation générale

Celle-ci subsiste pour toutes les valeurs de x comprises entre 0 et ^. On en trouverait d'autres, aussi générales, en différenciant ou en intégrant par rapport à x. Enfin,

l'égalité

= %"U\--zf{\+lz+\:^)^

conduit à un développement de {jjol)' > assez remarquable. Je laisse de côté ces détails , afin de passer à un autre sujet. IX. Si l'on suppose