COS X

on trouve

li.TW^/"' <'«

puis (*)

2n(2»— 1) 2n(2n — 1)(2»— 2)(2ji— 3)

±i!li*i=llE.^E. = 0. (,7)

Les nombres entiers E sont appelés, par M. Sylvester, Nombres cVEuler (*). De la relation (17) , on conclut qu'ils sont impairs (**). On peut rcprcsenlcr E2,, par une intégrale définie.

A cet effet, j'observe que la formule connue

JL = l+2 / (^' — '' ) (^ -\-e — I )

sin a; x j .:-«

devient, par le cbangemenl de x en ~ — x 1 ^ I

COS X ~ T, 2,x

Si l'on suppose le second membre ordonné suivant les puissances croissantes de ^, îe coefficient de x'" est

(' ) Comptes-rendus des séances de l'Académie des Sciences , t. LU , p. loi.

(") La démonstration est plus simple que pour les noinbi'es P,(p. 129). On vérifie aisénaent que les Nombres d'Euler ont la forme 4ft + I. Cette propriélé a été sigualae par M. Sylvester.

L'intégrale se décompose en

= -iïïTr-r(2« + r

2, / g ^f du

donc

Et comme

on a

Pour simplifier celte expression , je remplace F (2w + 1) par/ e""ît^"û!;i : j'obtiens

OU , en posant u = nt :

formule analogue à celle de Plana :

B , , = =fc 4«

X. Dans le second membre de l'équation (18), le coefficient de a;-""' est

Il doit être nul, car est une fonction paire; donc

cos^

On reconnaît facilement que cette relation est une identité. XL On peut déterminer les Nombres de Bernoulli au moyen des Nombres d'Euler; et réciproquement.

1" Écrivons ainsi la formule (4) :

puis prenons les dérivées des deux membres ; nous aurons

cos*a; Ld^ I (2

2' rr" .

Ainsi, le coefficient de a;"" , dans le développement de

est

D'après l'équation (16), ce coefficient a pour valeur

+ -r7?rr7^

r(i)r(2» + i) r(3)rc2/i — 1) "'^ r(2«.+ î)r(i) '

donc *

2«+i 4,. V-' ir(ijrr2«+i) r(3)r(2»-i) r(2w-fi)r(i)J'

ou , avec la notation des combinaisons :

P.„^, =-^Îe^E,, +G.,„ , E, E.„.+ C„, ,E,E.,,^ +...+ E.„. eJ.O (F) 4L' ' ->

2" On tire de l'équation (16), en prenant les dérivées des deux membres :