COS X

Le premier membre égale (1 + tg-x) sin x. Par conséquent, si l'on multiplie les deux séries

P. 3P, oP-, {2//-l)P.,„, ., ,„,

r(2)~'r(4) ^r(6)~- '^rîs;^'^"- =sm.x,

le coetFicient de ;r""' , dans le produit, sera -r^. De là' ré-

suite la formule

( *) D'apt'ès la relation (F), si ii est pair -. 1° le nombre entre parenthèses est divisih/epari". et li^ quotient est icnnombre impair ; 2'^ P,, est divisible par n -r- 1

2" ^ ïi^ilcill+l) -"-' ' l{.i:J(2«— 1) 2'>-3

que l'on peut écrire ainsi :

,.U„-. Pa]. (G)

Par exemple,

ou, en effectuant ,

XII. Les relations (F), (G) ne sont pas les seules qui existent entre les Nombres d'Euler et les Nombres de Bernoulli : 1° A cause de

sina; tax

cos-rr cos.T

= 7 -tT^TT-^ ' (22)

.ùd 1 ("211) ^

on a, par les formules (16) et (21)

E.,„ P..„,ï*l .„., P..„sl^.. .,„, P,E.,„ ..

1(2/;) r(2;?+iuvi)' i'(2?/-i)r(3r r(3)r(2«-i)"

ou

E ^ lU""' P, ïi +4"^'G, .P., ,E,+ 4"""^C., , P.. .E, + --

2° L'équation (22) donne aussi

rr2» + i)^-''^ -"2-^ r(2») Z<oi^(2«-M) '

et, par conséquent,

P., , = T-7fE. -G, ,,E, ,+C, ,,E, ,-..zbG, ,,E,Î..(K)

XIII. Dans les relations (G), (K), qui sont, pour ainsi dire, conjuguées l'une de l'autre, substituons, aux nombres P, E, les intégrales dont ils représentent les valeurs. En commençant par l'équation (K), nous trouvons

La quantité entre parenthèses égaie Gonséquemment,