p i tdl
[^(2^+i/=-i.)-'" V{2ï-«/=:îy'— 1.(2^
Soit ^t = col'j>> ; d'oii
1 cos'jj j i ,^ , ^, — nî»-i /-.. \ ' — r-« -1 ,-,cos 5rj— la
l'équation (:23) devient
— cotM — <-otsi sm û)
XIV. La formule (G), traitée de la même manière , devient d'abord
T représentant le polynôme
+(2»— 4XiM-D)4" V— 1)C,, f^"^-- • . =:Î.1.4 4-1 C^^^, ^,^ Pour simplifier celte quantité, je suppose
il est visible que
( ' } D'après la oote «le ia page 325 , d étant impair^ cette intégrate définie est égale à un notnbre CAtier pair , excepté quand n = I.
Mais
donc
-ir'
ri)-"
it-
-if"-'
et , par conséquent ,
/tdt
ou
tdt (u+ V~t"' - {u~V-\Y'
Si, dans la première intégrale, on fait ^ — -j col oj , el , dans la seconde , ^ = 7 eot o) , on change cette équation en
, / ' sin (!2»— 1) M cos fjid(o i
" J \e -ljsin-"^-&) J
- &m{'in — l)MCOS(oc(a) (e — Dsiii W
Le second membre est réductible à
\ I - sin (2/? —1) ''î cos cor/ro t/ \e +l/sin" 'co
donc enfin
-sin (2/? — 1)0) cos wrfM q^ /.^ /j^^
sin w
XV. Dans la Note citée au commencement de ce Mémoire, j'ai démontré la formule remarquable
sin 2«&)f/o) , j /*.. -
, 71 col W — TwCO'iW, . -114-2 /
{e —e )sin w ^
que l'on peut regarder comme une conséquence des relations (2) et (10). De môme, la combinaison des équations (17) et (E) donne d'abord
(*) Cette formule est en défaut dans le cas de n = o. Cela devait nécessairement arriver, attendu qu'elle n'est qu'une transformation de (G). (**).0n doit firendro le sitrne -f- si u est impair.
puis, par la transformation employée plusieurs fois,
e~ +e ' siii ' "w
XVI. Cette intégrale étant nulle (excepté lorsque ?2 = 0), il s'ensuit que la formule (L) peut être remplacée par celle-ci :
— Su— 3
" sincosin(2» — 1)63 dco 2
d'où l'on conclut aisément
Cette relation, différente de (K), peut être déduite de celle-ci, jointe à l'équation (17).
Addition. — {Mai 1867).
XVII. On peut substituer , aux équations (2) et (17) , une relation unique , donnant à la fois les Nombres de Bernoulli et les Nombres d'Euler. Pour la découvrir, reprenons les égalités
^^^~ Ja r(iV/ + l) ^ ' COS X ~ Zi r(2w-i-l) ^ '
et poson
y = ^Ig-'ï', P. , ^- — ^, G, . , E, = G, ;
nous aurons
Mais
, dy 1 4- sinx 1 ' ~ dx cos'jî ~1 — sin.r'
donc
De là résulte
G. = 1, G, — G, = 0, G,-i?G. = 0,,...; et, en général,
Les valeurs des nombres G sont, d'après cette équation aux différences :
Par conséquent,
E^ = 1, K. = 5, Ee = 61, E, = 1 385, E.» = 50 521,...
et
comme pi'écédemmenl
XYIH. Dans le dix-huilicme Cahier du Journal de l'Ecole PoUj technique, Poisson a démontré les formules
iU.T ~t-yT
^z=-'l ! dx, =i I ■ dy..
(' — (' tUh.<- / f, ^ ^
îl en résulte immédiatement, à cause des égalités (4) et (16)
De ces deux relations, la seconde a été trouvée ci-dessus ; et la première, comme on le vérifie aisément , ne diffère pas, au fond, de la formule :
Du reste, en partant de l'équation (2o) , et en y remplaçant
osa; /
^(:r^2ra^-(-i-2r;a
\gx-{ —if v-x -«Tto. da ,
cosa; / e — e '
on trouve
doc; 0-)
et, suivant que i est hnpair ou pair, cette formule reproduit
(T) ou (U).
- 33 'j — XIX. La formule
nous a donné
(e — e ) (4e +<+4(3 ) = -tg*^. (A)
En adoptant la nouvelle valeur de P, j, on trouve, absolument de la même manière que ci-dessus ,
IX — tz\
tdt{er -e-"} 1 ,
LXVIIl. — DE QUELQUES PROPOSITIONS INEXACTES, RELATIVES AUX
SÉRIES (novembre 1867).
î. Dans une Note intitulée : Addition à la première partie des Recherches sur la nature et la propagation dit Sou{*), Lagrangc répond ainsi à de très-justes critiques :
« ... 3" M. d'Alcmbcrt attaque aussi les calculs que j'ai fait » dans le Ghap. Vî pour trouver d'une manière directe et » générale la somme d'une suite infinie, telle que « sin cp X siu G + sin i2 © x sin 2 G + etc. »
Cette série est, sinon divergente, du moins indéterminée. En effet, la somme des n premiers termes a pour valeur
cos -^—^ sin -V^' cos -^ — ■ sin -^- — ■'
2sin^ 2sin^
(*) Miscellanca taurinensia , ("1760-01).
et, lorsque u croit indéliniment, cette quantité ne tend vers aucune limite fixe. Néanmoins, à l'endroit cité, Lagrange cherche à prouver que la somme de la série égale zéro. On va voir comment l'illustre Géomètre arrive à un pareil résultat.
» La méthode que j'ai emploïée dans cette recherche est » très-simple ; après avoir transformé la suite proposée en » deux autres composées de simples cosinus, j'ai mis à la » place de chacun de ces cosinus son expression exponentielle » imaginaire, & j'ai cherché la somme de suites résultantes, )) par la méthode ordinaire de la sommation des séries géo- » métriques , en supposant le dernier terme nul comme on » le fait communément lorsque la série va à l'infini.
» M. d'Alembert m'objecte que cette supposition n'est point
» exacte, parce que dans la suite e''^"^ -+ e-'^~^ etc. le der-
» nier terme est e* ~' quantité qui est infinie au lieu d'être » zéro. »
Non-seulement Lagrange n'admet pas l'objection; mais encore il ne la comprend pas; il y a plus : il s'étonne que d'Alembert conteste ime. proposition complètement absurde! Le Géomètre de Turin continue en effet ainsi sa polémique avec le Philosophe de Paris :
« Or je demande si toutes les fois que dans une formule » algébrique, il se trouvera par exemple une série géomé- » trique infinie , telle que \ + .% + x^- + x' -f etc. on ne sera
» pas en droit d'y substituer r^-, quoique cette quantité
« ne soit réellement égale à la somme de la série proposée « qu'en supposant le dernier terme a;" nul. Il me semble qu'on 3) ne sauroit contester l'exactitude d'une telle substitution sans » renverser les Principes les plus communs de l'Analise, «
Ainsi, ce serait renverser les principes que de contester Vexactitude de la substitution d'une quantité A à une quantité B, lorsque B diffère de A! On croit rêver quand on lit de pareilles choses , signées d'un si grand nom! Mais ce n'est pas tout :
« y]. d'Alemberl apporte encore un ari^uiiienl parliculicr » pour prouver que la somme de la suite
» cosrc + COS 2.C + coso.f + etc., à ri)iluii
« ne peut pas être — ^ comme je l'ai trouvée par mon » calcul. 11 suppose œ = 45" , *^ il trouve que cette suite » devient ^,0,-p!=, - 1,-^,0,-^^, + 1, etc.
» après quoi elle recommence : or (dit-il) la somme de cette
)) suite finie est, ou —-=, ouO, ou — J , ou — 1 -= selon
» quon y prendra plus ou moins de termes. Donc la somme de
)•> la suite entière est aussi ou —7=, ou 0, ou — 1 , ou
)) — 1 — , selon le nombre des termes qii on y prendra, quel
« que soit d'ailleurs ce nombre de termes fini ou infini , <& cette » somme ne sera point = 0, à moins que m x 45° ne soit = à » une infinité de fois la circonférence , ou ISS** H- une infinité » de fois la circonférence. »
Sauf peut-être les mots somme de la suite entière, il n'y a rien à objecter au raisonnement de d'Alembert : aujourd'hui , on ne s'y prendrait ni autrement ni mieux que lui pour établir Y indétermination de la série
cosx-i- cosSa; + cosSa; + • • •
Au lieu de se rendre à des arguments si clairs , présentés en si bons termes , le futur comte de VEmpire le prend de trèshaut avec Jean-le-Rond :
« Je répons qu'avec un pareil raisonnement on soutien-
» droit aussi que j n'est point l'expression générale de la
» somme de la suite infinie 1 — x + x' — x'^ + etc. parce » qu'en faisant .r = l on a 4 — i + 1 — 1 +etc. ce qui est ou 0, » ou 1 , selon que le nombre des termes qu'on prend est pair,
» ou impair, tandis que la valeur de- est - • Or, je ne
•a crois pas qu'aucun Géomètre voulût admettre cette conclusion. »
Depuis longtemps tous les Géomètres sont d'accord sur cette proposition :
l'équation
= \—X + JC^ —x^ -\- ■ • •
