x est absurde si x égale ou surpasse l'unité

et tous les étudiants en mathématiques sont en c(at de la démontrer. D'Alembcrt avait donc raison; et il ne reste rien, absolument rien, de la réfulation de Lagrangc (*).

II. Un Mémoire sur la convergence des séries, dû à l'un des plus éminents Géomètres de ce siècle, commence ainsi (**) : « Soient

u„, il, , II., «3, ... etc. (1)

» les différents termes d'une série réelle ou imaginaire; et

» la somme des u premiers termes, n désignant un nombre » entier quelconque. Si, pour des valeurs de n toujours crois- » santés , la somme 5 s'approche indériniment d'une certaine » limite s , la série sera dite convergente , et la limite en ques- » tion sera ce qu'on appelle la somme de la série. Au con- » traire, si, tandis que n croît indéfiniment, la somme 6-^ » ne s'approche d'aucune limite fixe, la série sera divergente » et n'aura plus de somme (***).

(*) Comment le uouvel éditeur des œuvres de ce grand Géomètre a-t-il laissé passer , sans les signaler aux lecteurs , des théories aussi fausses ? M. Bertrand , dans sa belle édition de la Mécanique analijtiqve , avait donné un exemple bon à suivre.

(*') Exercices de Mathématiques , tome II, p. 221 (1827).

(***) On voit que Caucby n'admet que deux espèces de séries. Cette classification, acceptée par la plupart des auteurs , ne me semble pas rationnelle. Dire que

-Hl — 1 + 1 — l + l— • • • • est une série divergente, c'est attribuer au mot divergent une acception contraire à son sens habituel.

2ii

» D'après ces principes, pour que la série ( 1 ) soit convcr- » génie, il est nécessaire, et il suffît que les valeurs des » sommes

» correspondantes à de très-grandes valeurs de n , diffèrent «très-peu les unes des autres, en d'autres termes, il est » nécessaire, et // suljit que la dijfén'ncc

» devienne infiniment petite, quand on attribue au nombre n une » valeur infiniment (jrande, quel que soit d'ailleurs le nombre entier » représenté par m... »

J'ai déjà fait remarquer {Traité élémentaire des séries, p. 4.) que la phrase imprimée en italiques énonce (si je l'ai bien comprise) une proposition fausse; car le sens le plus naturel qu'on lui puisse attribuer est celui-ci :

Une série est convergente si la somme d'un nombre quelconque (mais déterminé) de termes consécutifs tend vers zéro, lorsque le ranfj du premier d'entre eux croit indéfiniment; et il est évident que la série harmonique satisfait à cette condition.

On peut, il est vrai , supposer que par l'expression quel que soit le nombre entier m, Cauchy a voulu entendre que m peut être infini, ou plutôt indéfiniment grand. Mais alors le théorème énoncé (et non démontré) se réduirait à celte proposition aussi insignifiante qu'incontestable : une série est convergente quand elle est convergente !

En eiïet , pour que la quantité s„ ^ ,„ — s„ tende vers zéro quand on y fait croître indéfiniment et successivement, d'abord m, ensuite n , il faut et il suffit que cette quantité tende vers une limite finie et déterminée quand on y fait d'abord croître indéfiniment m ; c'est-à-dire , il faut et il suffit que la série soit convergente ; ce qui n'apprend rien.

IJI. Cette proposition fausse ou insignifiante, que l'on est étonné de rencontrer chez i'iliustre Géomètre à qui l'on doit les vrais principes sur la convergence des séries ; cette proposition, dis-je, a été reproduite, avec aggravation, dans un grand nombre d'ouvrages didactiques , la plupart trèsrecommandables. Voici quelques citations :

1° « Réciproquement, lorsque toutes ces conditions (*) sont » remplies , la série est convergente ; car les sommes s , » s , s , , s , etc., pouvant devenir aussi peu différentes » les unes des autres qu'on le veut, ces sommes convergent

» nécessairement vers une limite » (Algèbre de Choquet et

Mayer,\x 584, 1849).

Ici , l'erreur est manifeste : la différence s — s peut tendre vers zéro, pendant que 5^ ^•^^,,^-1 croissent indéfiniment.

2° « Réciproquement si la somme :(**) tend vers zéro, » quel que soit 7n, quand n augmente indéfiniment, toutes » les sommes désignées par s , différant très-peu les unes

» des autres , quand n est très-grand , tendent évidemment » vers une limite commune , et la série est convergente. » (Briot, Leçons d'Algèbre , seconde partie, p. 31. — 1853.) Évidemment, les sommes désignées par s^^^^ peuvent

croître au-delà de toute limite , tout en différant très-peu les unes des autres.

3° « Pour qu'une série soit convergente , la condition néces- » saire et suffisante consiste en ce que la somme d'un nombre quel-

)y conque de termes au-delà du n"'"'\ u , soit aitssi petite que l'on

» voudra, si n est suffisamment grand. Cette condition est

» suffisante, car si

(*) Celles dont il vient d'être question. (**) î désigne s — s .

- 3'tO —

» est compris entre — e et -h z , S^^ sera comprise entre ,,5 — £ et 5 + ' , limites qui se rapprocheront de plus en » plus à mesure que n augmentera... » (Sturm, Cours cV Analyse, tome 1 , p. 34 — 1S57).

Sis croît indéfiniment avec n, il en est de môme pour

S ; donc la proposition et la démonstration sont inexactes (*).

IV. Une théorie des séries , très-rigoureuse et très-complète, se trouve dans le Traité de Calcul différentiel et de Calcul intégral, do M. Bertrand. Comment se fait-il que ce Géomètre, dont personne ne conteste l'érudition et la sagacité, ait imprimé la formule suivante, laquelle eèl toujours ahsurde ?