XI. — PROBLÈME DE MINIMUM
Mener un plan tangent à un ellipsoïde donné , de manière que Je triangle formé par les intersections de ee plan avec les plans principaux , ait une aire minimum {'').
I. L'ellipsoïde étant rapporté à ses axes, et x, ?/, % désignant les coordonnées du point de contact , on a
Le plan tangent coupe les axes en des points dont les dislances au centre sont
(i' If c- .r ' y ' 2 "
Les faces du tétraèdre tri-rectangle déterminé par les quatre plans ont donc pour aires, respcetivenient ;
, h' (-:' , (■' a' , a- h^ ^ ?/-• ' ' vX ' ■' rij
Par suite, l'aire cherchée est
c'a'-]' la' [>• .•
ou
en supposant
-r = A + -rr + -T (3)
(') Note rédigée à l'occasion d'une Eolution inexacte , publiée dans le tome lit du Journal de Math.émati(iv4i>
on sait que ]; est la distance du centre au plan tangent. II. Soient
x\ JT , JL — Il (iV
alors les équations (i), (2) peuvent èlre remplacées par
iivw \ a- 0- c
La condition ch^ — o équivaut à
u V w\ldu dv dw\ [du dv dw
OU , plus simplement, à
b'^ Ci J u \ c2 fl- 1 V \a-' b'- J w
D'ailleurs
du -\- dv + dw = 0 (8).
Si l'on retranche membre à membre ces deux équations , après avoir divisé la seconde par une indéterminée /% et que l'on égale ensuite à zéro les coeflicients des différentielles du, dv, dw, on aura
u V W u V W II V w
d'où l'on tire aisément
Cette équation peut être mise sous la forme i i 1 1
OU encore sous celle-ci :
D'uiî autre côté, si l'on combine deux à deux les équations (9), on trouve
à cause des relations (1 ) et (12). Par suite
('''' ^' C'"' ,AZS
c'est-à-dire, en vertu de l'équation (42) :
Enfin, le minimum cherché a pour valeur
Addition. — {Octobre 1865).
lîl. On peut reconnaître, de diverses manières, que les équations (10), (11) ou (12) donnent pour X^ une valeur positive et deux valeurs négatives. D'après les équations (9) ou (15) , la valeur positive satisfait seule à la question. Pour simplifier l'équation (10), on peut faire
d'où l'on conclut
t' — (a* + b* + c'-)t — 2 abc = 0 (18).
Celte nouvelle équation, qui est bien connue, se rapporte au problème suivant : Déterminer Je diamètre t (ïun demicercle auquel on puisse inscrire trois cordes consécutives, égales à des droites données a, h, c. On voit que si ce demi-cercle était tracé, il serait facile de construire les diverses lignes au moyen desquelles on peut déterminer le plan tangent qui détermine le triangle minimum. Ce rapprochement entre deux problèmes d'apparences bien différentes paraîtra peutêtre assez curieux.
