XIII. — THÉORÈME DE GÉOMÉTRIE
De toutes les injramides ayant même hauteur et même angle polyèdre au sommet, la plus petite en volume a pour centre de gravité de la hase, le pied de la hauteur.
La base est déterminée par un plan tangent à une sphère ayant pour centre le sommet de la pyramide , et pour rayon la hauteur, que nous adoptons comme unité. Le sommet étant pris pour origine des coordonnées rectangulaires, soient «, 2/ , ^ les coordonnées du point où le plan de la base touche la sphère : nous aurons
Soient « , Ç>^ , y, les angles que forme, avec les axes , une première arête, et^, , t/,, ^, les coordonnées du point où elle perce le plan tangent. Nous aurons encore
XX, + yy, + zz, = i (2),
cosa coslS, cosy,
en représentant par /, la longueur de l'arête considérée. D'après ces équations,
j~ = X cosa.-h y cos^.+zcosy, (4).
Projetons, sur le plan des xy, la base de la pyramide. C étant Faire de cette projection, la formule de Stainville donne
Soient d , o, , . . . les rayons vecteurs menés, de l'origine des coordonnées, aux sommets du polygone situé sur le plan
(*) Publié dans les Nouvelles Annales de Mathématiques , tome VI. Cette première i^édaction présente quelques inexactitudes.
des xy ; soient 0, , o, , • . . les angles formés par ces droites avec la partie positive de l'axe des x :
.T, = (î, cos 0, , a-. = (?î cos Qj ,
y, = 0^ sin G,, y, = d, siii G^;
donc et comme
.r, y, — X, y, = o, o, sin (G, — G.),
§, = /, sin y, , Oi = /o sin y, , la formule (5) devient
^G = Il,L, sin y, sin y, sin (G, — 0.) (6).
L'angle formé par la base de la pyramide avec le plan xy a pour cosinus z; donc, P étant l'aire de la base,
2P = ^ 2 /, 4 sin y, sin y, sin (0. - G,) (7 ).
Dans cette équation (7) l,, h, h, . . . sont des fonctions de X, y, %; les autres quantités sont indépendantes de ces variables. D'ailleurs, le minimum du volume répond au minimum de P; donc la question est ramenée à un simple problème de Calcul différentiel.
Posons
2 t, U sin y, sin y. sin (G, — G, ) = ¥ {x , y , z) :
en égalant à zéro la différentielle de i F {x , y, z), nous avons
De plus, à cause de l'équation (1),
xdx + ydy + zdz - 0 (0).
On conclut aisément, de ces deux relations , (/ 1' d F
Pour interpréter ce résultat, observons que, d'après la valeur de .- (4) :
d(liU) , dli , dU
-4, — ■ = li -, — h /i -T- = — ^2 l'i^ cos a. — /, /.- cos a, dx dx dx '
OU
= — l^k{l^ COS a, + k COS «s ),
Le premier membre de l'équation (10) équivaut donc à
— ?/2/../iSin7,siir/jSin(93— 9,)(a;, 4-rc) = — ylài^^?,m{B. ~Q,){Xi + x^),
§, d^ sin (9^ — 9,) représente le double du triangle déterminé par les rayons vecteurs d, , d. ; ^, + ^, est le double de l'abscisse du milieu de la base correspondante. Désig-nant donc par t> l'aire de ce triangle , et rar g^ l'abscisse de son centre de gravité, nous avons
Irld, Sin (9, - 9,) {x, 4- X,) = elt,g,; ou encore
2^/1 sin (9, — (j,)(cc, + ir,) = 6CX,
X étant l'abscisse du centre de gravité du polygone G. On aurait, sembiablement ,
2r).^X siiî(9. -9,)(y. +?/0 6CY.
L'équation (10) devient donc
Ainsi , les coordonnées du point de contact cherché sont proportionnelles aux coordonnées du centre de gravité de la base; ce qui démontre le théorème.
